y(1) = frac{pi}{2} को संतुष्ट करने वाले अवकल | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $e^{2y}(1 + \ln x)dx + \csc y(2 + \cot y)dy = 0$.पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\csc y(2 + \cot y)dy = -e^{2y}(1 + \ln x)d

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$x \ln x + e^{-\pi} = \frac{e^{-2y}}{\sin y}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $e^{2y}(1 + \ln x)dx + \csc y(2 + \cot y)dy = 0$.पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\csc y(2 + \cot y)dy = -e^{2y}(1 + \ln x)dx$.$e^{2y}$ से भाग देने पर: $e^{-2y}(\csc y(2 + \cot y))dy = -(1 + \ln x)dx$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^{-2y}(2\csc y + \csc y \cot y)dy = -\int (1 + \ln x)dx$.मान लीजिए $f(y) = e^{-2y} \csc y$. तब $f'(y) = e^{-2y}(-\csc y \cot y) + (-2)e^{-2y} \csc y = -e^{-2y}(\csc y \cot y + 2 \csc y)$.अतः,बाईं ओर का समाकलन $-e^{-2y} \csc y$ है।दाईं ओर का समाकलन $-\int (1 + \ln x)dx = -(x \ln x) + C$ है।इसलिए,$-e^{-2y} \csc y = -x \ln x + C$,जो सरल होकर $x \ln x + C = e^{-2y} \csc y = \frac{e^{-2y}}{\sin y}$ हो जाता है।प्रतिबंध $y(1) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करते हुए,$x=1$ और $y=\frac{\pi}{2}$ रखने पर:$1 \cdot \ln(1) + C = \frac{e^{-2(\pi/2)}}{\sin(\pi/2)} \Rightarrow 0 + C = \frac{e^{-\pi}}{1} \Rightarrow C = e^{-\pi}$.अतः,हल $x \ln x + e^{-\pi} = \frac{e^{-2y}}{\sin y}$ है।

$y(1) = \frac{\pi}{2}$ को संतुष्ट करने वाले अवकल समीकरण $e^{2y} (1 + \ln x)dx + \csc y (2 + \cot y)dy = 0$ का हल है

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