y(1) = frac{pi}{2} નું સમાધાન કરતા વિકલ સમીકર | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $e^{2y}(1 + \ln x)dx + \csc y(2 + \cot y)dy = 0$.પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\csc y(2 + \cot y)dy = -e^{2y}(1 + \ln x)dx$.$e^{2y}$ વડે

Vedclass · Accepted Answer

$x \ln x + e^{-\pi} = \frac{e^{-2y}}{\sin y}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $e^{2y}(1 + \ln x)dx + \csc y(2 + \cot y)dy = 0$.પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\csc y(2 + \cot y)dy = -e^{2y}(1 + \ln x)dx$.$e^{2y}$ વડે ભાગતા: $e^{-2y}(\csc y(2 + \cot y))dy = -(1 + \ln x)dx$.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int e^{-2y}(2\csc y + \csc y \cot y)dy = -\int (1 + \ln x)dx$.ધારો કે $f(y) = e^{-2y} \csc y$. તો $f'(y) = e^{-2y}(-\csc y \cot y) + (-2)e^{-2y} \csc y = -e^{-2y}(\csc y \cot y + 2 \csc y)$.આમ,ડાબી બાજુનું સંકલન $-e^{-2y} \csc y$ થાય છે.જમણી બાજુનું સંકલન $-\int (1 + \ln x)dx = -(x \ln x) + C$ થાય છે.તેથી,$-e^{-2y} \csc y = -x \ln x + C$,જેનું સાદું રૂપ $x \ln x + C = e^{-2y} \csc y = \frac{e^{-2y}}{\sin y}$ થાય છે.શરત $y(1) = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$x=1$ અને $y=\frac{\pi}{2}$ મૂકતા:$1 \cdot \ln(1) + C = \frac{e^{-2(\pi/2)}}{\sin(\pi/2)} \Rightarrow 0 + C = \frac{e^{-\pi}}{1} \Rightarrow C = e^{-\pi}$.તેથી,ઉકેલ $x \ln x + e^{-\pi} = \frac{e^{-2y}}{\sin y}$ છે.

$y(1) = \frac{\pi}{2}$ નું સમાધાન કરતા વિકલ સમીકરણ $e^{2y} (1 + \ln x)dx + \csc y (2 + \cot y)dy = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $e^{\frac{1}{2}\left(\frac{dy}{dx}\right)}=3^x$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો (જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે).

વિકલ સમીકરણ $x \, dy + 2y \, dx = 0$ નો વિશિષ્ટ ઉકેલ, જ્યાં $x = 2$ માટે $y = 1$ હોય, તે શોધો:

$(x\sqrt{1 + y^2})dx + (y\sqrt{1 + x^2})dy = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} - \frac{y+3x}{\log_{e}(y+3x)} + 3 = 0$ નો ઉકેલ શોધો (જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.)

જ્યારે $x=e, y=e^2$ હોય ત્યારે વિકલ સમીકરણ $y(1+\log x) \frac{dx}{dy} - x \log x = 0$ નો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module