असमिकाओं $x + 2y \geq 11$,$3x + 4y \leq 30$,$2x + 5y \leq 30$,$x \geq 0$,$y \geq 0$ के हल समुच्चय में कौन सा बिंदु शामिल है?

एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या ($L$.$P$.$P$.) में, $3x - y \geq 6$, $x \leq 3$, $y \leq 2$, $y \geq 0$, और $x \geq 0$ अवरोधों द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु हैं:

यदि एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या $(L.P.P.)$ के सुसंगत क्षेत्र के दो लगातार कोणीय बिंदुओं पर इष्टतम समाधान हैं,तो $L.P.P.$ के पास:

एक फल उत्पादक अपने बगीचे में दो प्रकार के उर्वरक,ब्रांड $P$ और ब्रांड $Q$ का उपयोग कर सकता है। प्रत्येक ब्रांड की एक थैली में नाइट्रोजन,फॉस्फोरिक एसिड,पोटाश और क्लोरीन की मात्रा ($kg$ में) तालिका में दी गई है। परीक्षण बताते हैं कि बगीचे को कम से कम $240\,kg$ फॉस्फोरिक एसिड,कम से कम $270\,kg$ पोटाश और अधिकतम $310\,kg$ क्लोरीन की आवश्यकता है। यदि उत्पादक बगीचे में डाले जाने वाले नाइट्रोजन की मात्रा को कम करना चाहता है,तो प्रत्येक ब्रांड की कितनी थैलियों का उपयोग किया जाना चाहिए? बगीचे में डाली गई नाइट्रोजन की न्यूनतम मात्रा क्या है ($,kg$ में)?

	ब्रांड $P$ ($kg$ प्रति थैली)	ब्रांड $Q$ ($kg$ प्रति थैली)
नाइट्रोजन	$3$	$3.5$
फॉस्फोरिक एसिड	$1$	$2$
पोटाश	$3$	$1.5$
क्लोरीन	$1.5$	$2$

एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के लिए, उद्देश्य फलन $z = px + qy$ है, जहाँ $p, q > 0$ है। यदि कोणीय बिंदुओं $(0, 10)$ और $(5, 5)$ पर $z$ के मान क्रमशः $90$ और $60$ हैं, तो $p$ और $q$ के बीच का संबंध . . . . . . है।

सुसंगत क्षेत्र (feasible region) के कोणीय बिंदु $(0, 6)$,$(3, 3)$,$(9, 9)$ और $(0, 12)$ हैं। उद्देश्य फलन $z = 6x + 12y$ का अधिकतम मान क्या है?