$z$ માં સમીકરણ $|z|^2 - (z + \bar{z}) + i(z - \bar{z}) + 2 = 0$ ના ઉકેલો શોધો $(i = \sqrt{-1})$.

ધારો કે સંકર સંખ્યાઓ $\alpha$ અને $\left(\frac{1}{\bar{\alpha}}\right)$ અનુક્રમે વર્તુળો $\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2=r^2$ અને $\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2=4 r^2$ પર આવેલા છે. જો $z_0=x_0+i y_0$ એ સમીકરણ $2|z_0|^2=r^2+2$ નું સમાધાન કરે છે,તો $|\alpha|=$

જો ${Z_1} \ne 0$ અને ${Z_2}$ બે એવી સંકર સંખ્યાઓ હોય કે જેથી $\frac{{{Z_2}}}{{{Z_1}}}$ એ શુદ્ધ કાલ્પનિક સંખ્યા હોય,તો $\left| {\frac{{2{Z_1} + 3{Z_2}}}{{2{Z_1} - 3{Z_2}}}} \right|$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $z_1$ અને $z_2$ બે એવી સંકર સંખ્યાઓ છે કે જેથી $\frac{z_1}{z_2} + \frac{z_2}{z_1} = 1$ થાય. તો

જો $z$ એક એવી સંકર સંખ્યા હોય કે જેથી $|z+4| \geq 3$ થાય,તો $|z+3|$ ની ન્યૂનતમ કિંમત કેટલી થાય?

ધારો કે $S$ એ તમામ સંકર સંખ્યાઓ $z$ નો ગણ છે જે $|z-2+i| \geq \sqrt{5}$ નું સમાધાન કરે છે. જો સંકર સંખ્યા $z_0$ એવી હોય કે $\frac{1}{|z_0-1|}$ એ ગણ $\left\{\frac{1}{|z-1|}: z \in S\right\}$ નું મહત્તમ મૂલ્ય હોય,તો $\frac{4-z_0-\bar{z}_0}{z_0-\bar{z}_0+2i}$ નો મુખ્ય કોણાંક (principal argument) શોધો.