શ્રેણી 1^3+3^3+5^3+7^3+ldots ના n પદોનો સરવાળ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = (2n-1)^3$ છે.આપણે $S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)^3$ શોધવાનું છે.પદનું વિસ્તરણ કરતા: $(2k-1)^3 = 8k^3 - 12k^2 + 6k - 1$.હ

Vedclass · Accepted Answer

$n^2(2n^2-1)$

Vedclass · Answer

(A) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = (2n-1)^3$ છે.આપણે $S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)^3$ શોધવાનું છે.પદનું વિસ્તરણ કરતા: $(2k-1)^3 = 8k^3 - 12k^2 + 6k - 1$.હવે, $S_n = \sum_{k=1}^{n} (8k^3 - 12k^2 + 6k - 1) = 8 \sum k^3 - 12 \sum k^2 + 6 \sum k - \sum 1$.પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:$\sum k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$, $\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$, $\sum 1 = n$.આ કિંમતો મૂકતા:$S_n = 8 \left[ \frac{n^2(n+1)^2}{4} \right] - 12 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] + 6 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right] - n$.$S_n = 2n^2(n^2+2n+1) - 2n(2n^2+3n+1) + 3n^2+3n - n$.$S_n = 2n^4 + 4n^3 + 2n^2 - 4n^3 - 6n^2 - 2n + 3n^2 + 2n$.$S_n = 2n^4 - n^2 = n^2(2n^2-1)$.

શ્રેણી $1^3+3^3+5^3+7^3+\ldots$ ના $n$ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?

Similar Questions

એક આદર્શ વાયુ એવી રીતે વિસ્તરણ પામે છે કે $PT^2 = \text{અચળ}$. વાયુનો કદ પ્રસરણાંક કેટલો હશે ($/T$ માં)?

$\int_0^{2 \pi} \sin^6 x \cos^5 x \, dx$ ની કિંમત શોધો.

જો રેખાઓ $4x + 3y - 1 = 0$,$x - y + 5 = 0$ અને $kx + 5y - 3 = 0$ સંગામી હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module