$2, 3, 4, 5, 6$ अंकों का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के बनाई जा सकने वाली सभी $4$-अंकीय संख्याओं का योग क्या है?

दस छात्र एक पंक्ति में यादृच्छिक रूप से बैठे हैं। इस बात की प्रायिकता क्या है कि दो विशेष छात्र एक-दूसरे के बगल में न बैठे हों?

एक संख्या को पैलिंड्रोम कहा जाता है यदि वह पीछे से और आगे से समान पढ़ी जाती है। उदाहरण के लिए,$285582$ एक छह अंकों की पैलिंड्रोम संख्या है। $55$ से विभाज्य छह अंकों की पैलिंड्रोम संख्याओं की संख्या ...... है।

मान लीजिए $S$,$1, 2, \ldots, 6$ के सभी क्रमचयों $a_1, a_2, \ldots, a_6$ का समुच्चय है,इस प्रकार कि किसी भी $k, 1 \leq k \leq 5$ के लिए $a_1, a_2, \ldots, a_k$,$1, 2, \ldots, k$ का क्रमचय नहीं है। तो $S$ में अवयवों की संख्या ज्ञात कीजिए।

दो संख्याओं $a$ और $b$ को चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए,जहाँ $a \in \{2, 4, 6, \ldots, 100\}$ और $b \in \{1, 3, 5, \ldots, 99\}$,इस प्रकार कि $a+b$ को $23$ से विभाजित करने पर शेषफल $2$ प्राप्त हो:

$VARIABLE$ शब्द के अक्षरों में से यादृच्छिक रूप से तीन अक्षर चुने जाते हैं और उनसे सभी संभव तीन-अक्षरों वाले शब्द (अर्थपूर्ण या अर्थहीन) बनाए जाते हैं। तो तीन-अक्षरों वाले शब्द में बीच का अक्षर व्यंजन होने की प्रायिकता क्या है?