एक $G.P.$ के प्रथम तीन पदों का योग $\frac{13}{12}$ है और उनका गुणनफल $-1$ है। सार्व अनुपात और पद ज्ञात कीजिए।

माना $G.P.$ के प्रथम तीन पद $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
दिया गया है कि गुणनफल $-1$ है:
$\left(\frac{a}{r}\right)(a)(ar) = -1$
$a^3 = -1 \implies a = -1$.
दिया गया है कि योग $\frac{13}{12}$ है:
$\frac{a}{r} + a + ar = \frac{13}{12}$
$a = -1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$-\frac{1}{r} - 1 - r = \frac{13}{12}$
$-\frac{1+r+r^2}{r} = \frac{13}{12}$
$-12 - 12r - 12r^2 = 13r$
$12r^2 + 25r + 12 = 0$
द्विघात समीकरण को हल करने पर:
$12r^2 + 16r + 9r + 12 = 0$
$4r(3r + 4) + 3(3r + 4) = 0$
$(4r + 3)(3r + 4) = 0$
$r = -\frac{3}{4}$ या $r = -\frac{4}{3}$.
यदि $r = -\frac{3}{4}$ है,तो पद $\frac{4}{3}, -1, \frac{3}{4}$ हैं।
यदि $r = -\frac{4}{3}$ है,तो पद $\frac{3}{4}, -1, \frac{4}{3}$ हैं।