tan ^{-1}(x+1)+cot ^{-1}left(frac{1}{x-1}righ | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण: $	an ^{-1}(x+1)+\cot ^{-1}\left(\frac{1}{x-1}ight)=	an ^{-1}\left(\frac{8}{31}ight)$।गुणधर्म $\cot ^{-1}(u) = 	an ^{-1}\le

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$-\frac{32}{4}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया समीकरण: $	an ^{-1}(x+1)+\cot ^{-1}\left(\frac{1}{x-1}ight)=	an ^{-1}\left(\frac{8}{31}ight)$।गुणधर्म $\cot ^{-1}(u) = 	an ^{-1}\left(\frac{1}{u}ight)$ (जहाँ $u > 0$) का उपयोग करने पर, यदि $x > 1$ है तो $\cot ^{-1}\left(\frac{1}{x-1}ight) = 	an ^{-1}(x-1)$ होता है।यदि $x > 1$ है, तो $	an ^{-1}(x+1) + 	an ^{-1}(x-1) = 	an ^{-1}\left(\frac{8}{31}ight)$।$	an(A+B)$ सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{(x+1)+(x-1)}{1-(x+1)(x-1)} = \frac{8}{31} \Rightarrow \frac{2x}{2-x^2} = \frac{8}{31} \Rightarrow 4x^2 + 31x - 8 = 0$।$x$ के लिए हल करने पर: $(4x-1)(x+8) = 0$, अतः $x = \frac{1}{4}$ या $x = -8$। चूँकि दोनों मान $x \leq 1$ हैं, इसलिए $x > 1$ की धारणा अमान्य है।यदि $x अतः $	an ^{-1}(x+1) + \pi + 	an ^{-1}(x-1) = 	an ^{-1}\left(\frac{8}{31}ight) \Rightarrow 	an ^{-1}\left(\frac{2x}{2-x^2}ight) = 	an ^{-1}\left(\frac{8}{31}ight) - \pi$।दोनों पक्षों में $	an$ लेने पर: $\frac{2x}{2-x^2} = \frac{8}{31}$।यह $4x^2 + 31x - 8 = 0$ की ओर ले जाता है, जिससे $x = \frac{1}{4}$ या $x = -8$ प्राप्त होता है। $x = \frac{1}{4}$ की जाँच करने पर यह अमान्य है।$x = -8$ के लिए: $	an^{-1}(-7) + \cot^{-1}(-1/9) = 	an^{-1}(8/31)$।अतः, एकमात्र समाधान $x = -8 = -\frac{32}{4}$ है।

$\tan ^{-1}(x+1)+\cot ^{-1}\left(\frac{1}{x-1}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{8}{31}\right)$ के लिए $x$ के संभावित मानों का योग क्या है?

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$2 \cos ^{-1} x = \sin ^{-1} \left( 2 x \sqrt{1 - x^2} \right)$,$x$ के किन मानों के लिए मान्य है?

$\cos \left(\tan ^{-1}\left(\sin \left(\cot ^{-1} x\right)\right)\right)$ का मान है

यदि $\alpha$ और $\beta$ प्रथम चतुर्थांश में ऐसे कोण हैं कि $\tan \alpha = \frac{1}{7}$ और $\sin \beta = \frac{1}{\sqrt{10}}$,तो $\alpha + 2\beta =$ ($^{\circ}$ में)

मान ज्ञात कीजिए: $\tan ^2(\sec ^{-1} 3) + \operatorname{cosec}^2(\cot ^{-1} 2) + \cos ^2(\cos ^{-1} \frac{2}{3} + \sin ^{-1} \frac{2}{3}) = $ . . . . . . .

यदि $\frac{1}{2} \leq x \leq 1$ है, तो $\cos ^{-1} x+\cos ^{-1}\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{3-3 x^2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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