(1 + x)^{15} के विस्तार में अंतिम आठ गुणांकों | vedclass

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Question

(C) $(1 + x)^{15}$ के विस्तार में $16$ पद हैं,जिनके गुणांक $^{15}C_0, ^{15}C_1, \dots, ^{15}C_{15}$ हैं।हम जानते हैं कि सभी द्विपद गुणांकों का योग $\s

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$2^{14}$

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(C) $(1 + x)^{15}$ के विस्तार में $16$ पद हैं,जिनके गुणांक $^{15}C_0, ^{15}C_1, \dots, ^{15}C_{15}$ हैं।हम जानते हैं कि सभी द्विपद गुणांकों का योग $\sum_{r=0}^{15} {^{15}C_r} = 2^{15}$ होता है।चूँकि $^{n}C_r = ^{n}C_{n-r}$,इसलिए $^{15}C_0 = ^{15}C_{15}, ^{15}C_1 = ^{15}C_{14}, \dots, ^{15}C_7 = ^{15}C_8$ है।अंतिम आठ गुणांकों का योग $S = ^{15}C_8 + ^{15}C_9 + \dots + ^{15}C_{15}$ है।समरूपता के अनुसार,$S = ^{15}C_7 + ^{15}C_6 + \dots + ^{15}C_0$ होगा।अतः,$2S = (^{15}C_0 + ^{15}C_1 + \dots + ^{15}C_{15}) = 2^{15}$।इसलिए,$S = \frac{2^{15}}{2} = 2^{14}$।

$(1 + x)^{15}$ के विस्तार में अंतिम आठ गुणांकों का योग क्या है?

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