2(cos ^{-1} x)^2-pi cos ^{-1} x+frac{pi^2}{4} | vedclass

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Question

(B) माना $f(x) = 2(\cos ^{-1} x)^2-\pi \cos ^{-1} x+\frac{\pi^2}{4}$ है।माना $y = \cos ^{-1} x$ है। चूँकि $x \in [-1, 1]$,इसलिए $y \in [0, \pi]$ है।अत

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$\frac{11 \pi^2}{8}$

Vedclass · Answer

(B) माना $f(x) = 2(\cos ^{-1} x)^2-\pi \cos ^{-1} x+\frac{\pi^2}{4}$ है।माना $y = \cos ^{-1} x$ है। चूँकि $x \in [-1, 1]$,इसलिए $y \in [0, \pi]$ है।अतः $f(y) = 2y^2 - \pi y + \frac{\pi^2}{4}$ है।पूर्ण वर्ग बनाने पर: $f(y) = 2(y^2 - \frac{\pi}{2}y) + \frac{\pi^2}{4} = 2(y - \frac{\pi}{4})^2 - \frac{\pi^2}{8} + \frac{\pi^2}{4} = 2(y - \frac{\pi}{4})^2 + \frac{\pi^2}{8}$ है।$y \in [0, \pi]$ के लिए,न्यूनतम मान $y = \frac{\pi}{4}$ पर प्राप्त होता है,जो $f(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi^2}{8}$ है।अधिकतम मान सीमा $y = \pi$ पर प्राप्त होता है (क्योंकि $|\pi - \frac{\pi}{4}| > |0 - \frac{\pi}{4}|$) है।$f(\pi) = 2(\pi - \frac{\pi}{4})^2 + \frac{\pi^2}{8} = 2(\frac{3\pi}{4})^2 + \frac{\pi^2}{8} = 2(\frac{9\pi^2}{16}) + \frac{\pi^2}{8} = \frac{9\pi^2}{8} + \frac{\pi^2}{8} = \frac{10\pi^2}{8} = \frac{5\pi^2}{4}$ है।अधिकतम और न्यूनतम मानों का योग $\frac{5\pi^2}{4} + \frac{\pi^2}{8} = \frac{10\pi^2 + \pi^2}{8} = \frac{11\pi^2}{8}$ है।

$2(\cos ^{-1} x)^2-\pi \cos ^{-1} x+\frac{\pi^2}{4}$ के अधिकतम और न्यूनतम मानों का योग क्या है?

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