शांकवों $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ और $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1$ की उत्केंद्रताओं के वर्गों का योग क्या है?

मान लीजिए $A, B, C$ और $D$ वक्रों $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{8}=1$ और $x^2-y^2=5$ के क्रमशः $I, II, III$ और $IV$ चतुर्थांशों में चार प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। यदि $\theta_1, \theta_2, \theta_3$ और $\theta_4$ क्रमशः $A, B, C$ और $D$ पर वक्रों के बीच के कोण हैं, तो

अतिपरवलय $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{3} = 1$ के लिए,गलत कथन है:

माना परवलय $P: y^{2}=4x$ की नाभीय जीवा रेखा $L: y=mx+c, m>0$ के अनुदिश है,जो परवलय को बिंदुओं $M$ और $N$ पर मिलती है। माना रेखा $L$ अतिपरवलय $H: x^{2}-y^{2}=4$ की स्पर्श रेखा है। यदि $O$,$P$ का शीर्ष है और $F$,धनात्मक $x$-अक्ष पर $H$ की नाभि है,तो चतुर्भुज $OMFN$ का क्षेत्रफल है।

यदि $e$ और $e^{\prime}$ क्रमशः दीर्घवृत्त $5x^2 + 9y^2 = 45$ और अतिपरवलय $5x^2 - 4y^2 = 45$ की उत्केंद्रताएँ हैं,तो $ee^{\prime}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $T_1$ और $T_2$ दीर्घवृत्त $E: \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$ और परवलय $P: y^2=12x$ की दो अलग-अलग उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं। मान लीजिए कि स्पर्श रेखा $T_1$,$P$ और $E$ को क्रमशः $A_1$ और $A_2$ बिंदुओं पर स्पर्श करती है और स्पर्श रेखा $T_2$,$P$ और $E$ को क्रमशः $A_4$ और $A_3$ बिंदुओं पर स्पर्श करती है। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$(A)$ चतुर्भुज $A_1 A_2 A_3 A_4$ का क्षेत्रफल $35$ वर्ग इकाई है।
$(B)$ चतुर्भुज $A_1 A_2 A_3 A_4$ का क्षेत्रफल $36$ वर्ग इकाई है।
$(C)$ स्पर्श रेखाएँ $T_1$ और $T_2$,$x$-अक्ष पर $(-3,0)$ बिंदु पर मिलती हैं।
$(D)$ स्पर्श रेखाएँ $T_1$ और $T_2$,$x$-अक्ष पर $(-6,0)$ बिंदु पर मिलती हैं।