श्रेणी 1^2 + (1^2 + 3^2) + (1^2 + 3^2 + 5^2) | vedclass

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Question

(A) श्रेणी का $r$-वां पद $t_r = 1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2r - 1)^2$ है।$t_r = \sum_{k=1}^r (2k - 1)^2 = \sum_{k=1}^r (4k^2 - 4k + 1)$.मानक योग सूत्र

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$\frac{1}{6}n(n + 1)(2n^2 + 2n - 1)$

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(A) श्रेणी का $r$-वां पद $t_r = 1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2r - 1)^2$ है।$t_r = \sum_{k=1}^r (2k - 1)^2 = \sum_{k=1}^r (4k^2 - 4k + 1)$.मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:$t_r = 4 \cdot \frac{r(r+1)(2r+1)}{6} - 4 \cdot \frac{r(r+1)}{2} + r$.इस व्यंजक को सरल करने पर:$t_r = \frac{4r^3 - r}{3}$.$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{r=1}^n t_r = \sum_{r=1}^n \frac{4r^3 - r}{3} = \frac{4}{3} \sum_{r=1}^n r^3 - \frac{1}{3} \sum_{r=1}^n r$.$S_n = \frac{4}{3} \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 - \frac{1}{3} \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]$.$S_n = \frac{n(n+1)}{6} [2n(n+1) - 1] = \frac{1}{6} n(n+1)(2n^2 + 2n - 1)$.

श्रेणी $1^2 + (1^2 + 3^2) + (1^2 + 3^2 + 5^2) + \dots$ के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

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