શ્રેણી 1^2 + (1^2 + 3^2) + (1^2 + 3^2 + 5^2) | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) શ્રેણીનું $r$-મું પદ $t_r = 1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2r - 1)^2$ છે.$t_r = \sum_{k=1}^r (2k - 1)^2 = \sum_{k=1}^r (4k^2 - 4k + 1)$.પ્રમાણિત સરવાળ

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{6}n(n + 1)(2n^2 + 2n - 1)$

Vedclass · Answer

(A) શ્રેણીનું $r$-મું પદ $t_r = 1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2r - 1)^2$ છે.$t_r = \sum_{k=1}^r (2k - 1)^2 = \sum_{k=1}^r (4k^2 - 4k + 1)$.પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:$t_r = 4 \cdot \frac{r(r+1)(2r+1)}{6} - 4 \cdot \frac{r(r+1)}{2} + r$.આ પદનું સાદું રૂપ આપતા:$t_r = \frac{4r^3 - r}{3}$.$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{r=1}^n t_r = \sum_{r=1}^n \frac{4r^3 - r}{3} = \frac{4}{3} \sum_{r=1}^n r^3 - \frac{1}{3} \sum_{r=1}^n r$.$S_n = \frac{4}{3} \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 - \frac{1}{3} \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]$.$S_n = \frac{n(n+1)}{6} [2n(n+1) - 1] = \frac{1}{6} n(n+1)(2n^2 + 2n - 1)$.

શ્રેણી $1^2 + (1^2 + 3^2) + (1^2 + 3^2 + 5^2) + \dots$ ના $n$ પદોનો સરવાળો શોધો.

Similar Questions

શ્રેણી $1 + \frac{3}{2} + \frac{7}{4} + \frac{15}{8} + \frac{31}{16} + \dots$ ના પ્રથમ $20$ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?

જો પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો તેમના સરવાળા કરતા $330$ જેટલો વધારે હોય,તો $n = $

જો $\frac{1^3+2^3+3^3+\ldots n \text{ પદો સુધી}}{1 \cdot 3+2 \cdot 5+3 \cdot 7+\ldots n \text{ પદો સુધી}} = \frac{9}{5}$ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.

જો $3 + \frac{1}{4} (3 + d) + \frac{1}{4^2} (3 + 2d) + \dots \infty = 8$ હોય,તો $d$ ની કિંમત શોધો:

એકિ સંખ્યાઓને નીચે મુજબ વિભાજિત કરવામાં આવી છે:
હાર $1$: $1, 3$
હાર $2$: $5, 7, 9, 11$
હાર $3$: $13, 15, 17, 19, 21, 23$
તો $n^{th}$ હારનો સરવાળો કેટલો થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module