परवलय y^2 = 4ax पर बिंदु P पर स्पर्शरेखा नियत | vedclass

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Question

(A) माना परवलय $y^2 = 4ax$ पर बिंदु $P(at^2, 2at)$ है।बिंदु $P$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $ty = x + at^2$ है।नियता $x = -a$ है। स्पर्शरेखा के समीकरण में

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एक समकोण त्रिभुज होना चाहिए

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(A) माना परवलय $y^2 = 4ax$ पर बिंदु $P(at^2, 2at)$ है।बिंदु $P$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $ty = x + at^2$ है।नियता $x = -a$ है। स्पर्शरेखा के समीकरण में $x = -a$ रखने पर,$ty = -a + at^2$,इसलिए $y = \frac{a(t^2 - 1)}{t}$। अतः,$U = (-a, \frac{a(t^2 - 1)}{t})$।नाभिलंब $x = a$ है। स्पर्शरेखा के समीकरण में $x = a$ रखने पर,$ty = a + at^2$,इसलिए $y = \frac{a(1 + t^2)}{t}$। अतः,$V = (a, \frac{a(1 + t^2)}{t})$।नाभि $S = (a, 0)$ है।हम जानते हैं कि परवलय पर किसी भी बिंदु $P$ पर स्पर्शरेखा नाभि $S$ पर समकोण बनाती है। इसलिए,$\angle PSU = 90^\circ$।अतः,$	riangle SUV$ एक समकोण त्रिभुज है।

परवलय $y^2 = 4ax$ पर बिंदु $P$ पर स्पर्शरेखा नियता को $U$ पर और नाभिलंब को $V$ पर मिलती है। तो $\triangle SUV$ (जहाँ $S$ नाभि है) :

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यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ और अतिपरवलय $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{81} = \frac{1}{25}$ की नाभियाँ संपाती हैं,तो $b^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

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