અંતરાલ $[0, \pi]$ માં વિધેય $f(x) = 2 \sin x + \sin 2x$ માટે રોલના પ્રમેય મુજબ $c$ નું મૂલ્ય શું છે?

ધારો કે $f :[0,1] \rightarrow R$ એ $(0,1)$ માં બે વાર વિકલનીય વિધેય છે,જેથી $f(0)=3$ અને $f(1)=5$ થાય. જો રેખા $y=2x+3$ એ $f$ ના આલેખને $(0,1)$ માં માત્ર બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો $x \in(0,1)$ ના બિંદુઓની ન્યૂનતમ સંખ્યા,જ્યાં $f^{\prime\prime}(x)=0$ થાય,તે $......$ છે.

જો $a + b + c = 0$ હોય,તો અંતરાલ $(0, 1)$ માં સમીકરણ $3ax^2 + 2bx + c = 0$ ના કેટલા બીજ હોય?

ધારો કે $f(x)$ એ $[0, 2]$ અંતરાલમાં મધ્યકમાન પ્રમેયની તમામ શરતોનું પાલન કરે છે. જો $f(0) = 0$ અને $[0, 2]$ માં તમામ $x$ માટે $|f'(x)| \le \frac{1}{2}$ હોય,તો:

વિધેય $f(x) = \log_{e}x$ માટે અંતરાલ $[1, 3]$ પર મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) નું નિષ્કર્ષ સાચું ઠરે તેવી $c$ ની કિંમત કઈ છે?

ધારો કે $f(x)$ એ અંતરાલ $[1, 3]$ માં બે વાર વિકલનીય છે અને $f(1)=f(3)$ છે. જો $|f^{\prime \prime}(x)| \leq 2$ હોય,તો $[1, 3]$ માં તમામ $x$ માટે,નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?