अंतराल [0, pi] में फलन f(x) = 2 sin x + sin 2 | vedclass

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Question

(D) दिया गया फलन $f(x) = 2 \sin x + \sin 2x$ अंतराल $[0, \pi]$ पर है।चूंकि $f(x)$ त्रिकोणमितीय फलनों का योग है,यह $[0, \pi]$ पर सतत है और $(0, \pi)$ प

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$\frac{\pi}{3}$

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(D) दिया गया फलन $f(x) = 2 \sin x + \sin 2x$ अंतराल $[0, \pi]$ पर है।चूंकि $f(x)$ त्रिकोणमितीय फलनों का योग है,यह $[0, \pi]$ पर सतत है और $(0, \pi)$ पर अवकलनीय है।साथ ही,$f(0) = 2 \sin(0) + \sin(0) = 0$ और $f(\pi) = 2 \sin(\pi) + \sin(2\pi) = 0$ है।अतः,$f(0) = f(\pi)$,जो रोले के प्रमेय की शर्तों को पूरा करता है।हम $f'(x) = 2 \cos x + 2 \cos 2x$ प्राप्त करते हैं।$f'(c) = 0$ रखने पर,हमें $2 \cos c + 2 \cos 2c = 0$ मिलता है,जिसका अर्थ है $\cos c + \cos 2c = 0$।सर्वसमिका $\cos 2c = 2 \cos^2 c - 1$ का उपयोग करने पर,$2 \cos^2 c + \cos c - 1 = 0$ प्राप्त होता है।द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(2 \cos c - 1)(\cos c + 1) = 0$।इससे $\cos c = \frac{1}{2}$ या $\cos c = -1$ प्राप्त होता है।$c \in (0, \pi)$ के लिए,$\cos c = \frac{1}{2}$ का अर्थ है $c = \frac{\pi}{3}$।चूंकि $\cos c = -1$ से $c = \pi$ मिलता है,जो विवृत अंतराल $(0, \pi)$ में नहीं है,इसलिए एकमात्र मान्य मान $c = \frac{\pi}{3}$ है।

अंतराल $[0, \pi]$ में फलन $f(x) = 2 \sin x + \sin 2x$ के लिए रोले के प्रमेय का मान $c$ क्या है?

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