વિધેય $f(x) = x^{3} - 4x^{2} + 8x + 11$ માટે અંતરાલ $x \in [0, 1]$ પર લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ $c$ ની કિંમત શોધો.

જો $2a + 3b + 6c = 0$ હોય,તો સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ નું ઓછામાં ઓછું એક બીજ કયા અંતરાલમાં હોય?

નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
વિધાન $I$: જો $a_0+\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+\ldots+\frac{a_n}{n+1}=0$, જ્યાં $a_0, a_1, \ldots, a_n$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, તો બહુપદી $P(x) = a_0+a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_n x^n$ ને અંતરાલ $(0,1)$ માં એક શૂન્ય છે.
વિધાન $II$: જો $f:[a, b] \rightarrow R$ એ $[a, b]$ પર સતત હોય અને $f$ એ $(a, b)$ માં વિકલનીય હોય, જ્યાં $a>0$ અને જો $\frac{f(a)}{a}=\frac{f(b)}{b}$ હોય, તો એવો $c \in(a, b)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $c f^{\prime}(c)=f(c)$ થાય.
નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ સાચો છે?

ધારો કે $f$ અને $g$ એ અંતરાલ $I$ પર વિકલનીય છે અને $a, b \in I, a < b$ છે. તો,

જો $f(x)$ એ $[2, 5]$ અંતરાલમાં વિકલનીય હોય કે જ્યાં $f(2) = 1/5$ અને $f(5) = 1/2$ થાય,તો $2 < c < 5$ માટે એવી સંખ્યા $c$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f'(c) = \dots$

અંતરાલ $[1, 3]$ પર વિધેય $f(x) = \log_e x$ માટે સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેય (Mean Value Theorem) મુજબ $c$ ની કઈ કિંમત મળે?