$\sum_{r=0}^{20} {}^{50-r}C_{6}$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

જો અંકો $0, 1, 3, 5,$ અને $7$ નો ઉપયોગ કરીને $5,000$ થી મોટી $4$-અંકી સંખ્યાઓ યાદચ્છિક રીતે બનાવવામાં આવે,તો અંકોનું પુનરાવર્તન ન થતું હોય ત્યારે $5$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યા બનવાની સંભાવના કેટલી છે?

સમૂહ $A$ માં $4$ પુરુષો અને $5$ સ્ત્રીઓ છે,અને સમૂહ $B$ માં $5$ પુરુષો અને $4$ સ્ત્રીઓ છે. જો દરેક સમૂહમાંથી $4$ વ્યક્તિઓની પસંદગી કરવામાં આવે,તો $4$ પુરુષો અને $4$ સ્ત્રીઓની પસંદગી કરવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?

$A, B, C, D, E, F, G, H, I, J$ અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને $10$ લંબાઈના શબ્દો બનાવવામાં આવે છે. ધારો કે $x$ એવા શબ્દોની સંખ્યા છે જેમાં કોઈ અક્ષરનું પુનરાવર્તન થતું નથી અને $y$ એવા શબ્દોની સંખ્યા છે જેમાં બરાબર બે અક્ષરો બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે અને અન્ય કોઈ અક્ષર પુનરાવર્તિત થતો નથી,તો $\frac{y}{x}$ નું મૂલ્ય શોધો.

એક ડિબેટ ક્લબમાં $6$ છોકરીઓ અને $4$ છોકરાઓ છે. આ ક્લબમાંથી $4$ સભ્યોની એક ટીમ પસંદ કરવાની છે,જેમાં ટીમના કેપ્ટનની પસંદગી (આ $4$ સભ્યોમાંથી) પણ સામેલ છે. જો ટીમમાં વધુમાં વધુ એક છોકરો હોય,તો ટીમ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?

$a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ અક્ષરોના એવા કેટલા ક્રમચયો મળે જેમાં પ્રથમ અક્ષર $a_1$ પ્રથમ સ્થાને ન હોય અને બીજો અક્ષર $a_2$ બીજા સ્થાને ન હોય?