frac{1}{(1 + a)(2 + a)} + frac{1}{(2 + a)(3 + | vedclass

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Question

(A) दी गई श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n + a)(n + 1 + a)}$ है।आंशिक भिन्न (partial fractions) की विधि का उपयोग करते हुए,$n$-वां पद $T_n$

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$\frac{1}{1 + a}$

Vedclass · Answer

(A) दी गई श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n + a)(n + 1 + a)}$ है।आंशिक भिन्न (partial fractions) की विधि का उपयोग करते हुए,$n$-वां पद $T_n$ इस प्रकार लिखा जा सकता है:$T_n = \frac{1}{(n + a)(n + 1 + a)} = \frac{1}{n + a} - \frac{1}{n + 1 + a}$.अब,प्रथम $n$ पदों का योग $S_n$ लिखते हैं:$S_n = T_1 + T_2 + T_3 + \dots + T_n$$S_n = \left( \frac{1}{1 + a} - \frac{1}{2 + a} ight) + \left( \frac{1}{2 + a} - \frac{1}{3 + a} ight) + \left( \frac{1}{3 + a} - \frac{1}{4 + a} ight) + \dots + \left( \frac{1}{n + a} - \frac{1}{n + 1 + a} ight)$.यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है जिसमें मध्यवर्ती पद कट जाते हैं:$S_n = \frac{1}{1 + a} - \frac{1}{n + 1 + a}$.अनंत तक योग ज्ञात करने के लिए,हम $n 	o \infty$ की सीमा लेते हैं:$S_{\infty} = \lim_{n 	o \infty} \left( \frac{1}{1 + a} - \frac{1}{n + 1 + a} ight) = \frac{1}{1 + a} - 0 = \frac{1}{1 + a}$.

$\frac{1}{(1 + a)(2 + a)} + \frac{1}{(2 + a)(3 + a)} + \frac{1}{(3 + a)(4 + a)} + \dots + \infty$ का मान क्या है,(जहाँ $a$ एक स्थिरांक है)।

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