cot left(sumlimits_{n=1}^{50} tan ^{-1}left(f | vedclass

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Question

(A) हम जानते हैं कि $	an ^{-1} \left(\frac{x-y}{1+xy}ight) = 	an ^{-1} x - 	an ^{-1} y$ होता है। दिए गए पद $	an ^{-1}\left(\frac{1}{1+n+n^{2}}

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$\frac{26}{25}$

Vedclass · Answer

(A) हम जानते हैं कि $	an ^{-1} \left(\frac{x-y}{1+xy}ight) = 	an ^{-1} x - 	an ^{-1} y$ होता है। दिए गए पद $	an ^{-1}\left(\frac{1}{1+n+n^{2}}ight)$ को हम इस प्रकार लिख सकते हैं: $	an ^{-1}\left(\frac{(n+1)-n}{1+n(n+1)}ight) = 	an ^{-1}(n+1) - 	an ^{-1} n$। अब,योगफल पर विचार करें: $\sum\limits_{n=1}^{50} \left(	an ^{-1}(n+1) - 	an ^{-1} night) = (	an ^{-1} 2 - 	an ^{-1} 1) + (	an ^{-1} 3 - 	an ^{-1} 2) + \dots + (	an ^{-1} 51 - 	an ^{-1} 50)$। यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए यह सरल होकर प्राप्त होता है: $	an ^{-1} 51 - 	an ^{-1} 1$। सूत्र $	an ^{-1} x - 	an ^{-1} y = 	an ^{-1} \left(\frac{x-y}{1+xy}ight)$ का उपयोग करते हुए: $	an ^{-1} 51 - 	an ^{-1} 1 = 	an ^{-1} \left(\frac{51-1}{1+51 	imes 1}ight) = 	an ^{-1} \left(\frac{50}{52}ight) = 	an ^{-1} \left(\frac{25}{26}ight)$। अंत में,हमें $\cot \left(	an ^{-1} \left(\frac{25}{26}ight)ight)$ का मान ज्ञात करना है। चूंकि $\cot(	an ^{-1} x) = \frac{1}{x}$ होता है,इसलिए: $\cot \left(	an ^{-1} \left(\frac{25}{26}ight)ight) = \frac{26}{25}$।

$\cot \left(\sum\limits_{n=1}^{50} \tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+n+n^{2}}\right)\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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