int limits_0^{2 pi} min {|x-pi|, cos ^{-1}(co | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int \limits_0^{2 \pi} \min \{|x-\pi|, \cos ^{-1}(\cos x)\} d x$ है।फलन $f(x) = \cos^{-1}(\cos x)$ इस प्रकार परिभाषित है:$f(x) = x$,जब $

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$\frac{\pi^2}{2}$

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(B) माना $I = \int \limits_0^{2 \pi} \min \{|x-\pi|, \cos ^{-1}(\cos x)\} d x$ है।फलन $f(x) = \cos^{-1}(\cos x)$ इस प्रकार परिभाषित है:$f(x) = x$,जब $x \in [0, \pi]$$f(x) = 2\pi - x$,जब $x \in [\pi, 2\pi]$फलन $g(x) = |x-\pi|$ इस प्रकार परिभाषित है:$g(x) = \pi - x$,जब $x \in [0, \pi]$$g(x) = x - \pi$,जब $x \in [\pi, 2\pi]$इन फलनों का आलेख खींचने पर,समाकलन $0$ से $2\pi$ तक इन दो वक्रों के न्यूनतम भाग के अंतर्गत क्षेत्रफल को दर्शाता है। ये वक्र $x = \pi/2$ और $x = 3\pi/2$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।आलेख के अनुसार,छायांकित क्षेत्र दो त्रिभुजों से बना है,जिसका कुल क्षेत्रफल $\frac{1}{2} 	imes \pi 	imes \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} 	imes \pi 	imes \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{4} + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{2}$ है।

Column-$I$	Column-$II$
$(A)$ एक त्रिभुज $\triangle XYZ$ में,मान लीजिए $a, b$ और $c$ क्रमशः कोणों $X, Y$ और $Z$ के सम्मुख भुजाओं की लंबाई हैं। यदि $2(a^2-b^2)=c^2$ और $\lambda=\frac{\sin(X-Y)}{\sin Z}$ है,तो $n$ के संभावित मान जिनके लिए $\cos(n\pi\lambda)=0$ है,वे हैं	$(P)$ $1$
$(B)$ एक त्रिभुज $\triangle XYZ$ में,मान लीजिए $a, b$ और $c$ क्रमशः कोणों $X, Y$ और $Z$ के सम्मुख भुजाओं की लंबाई हैं। यदि $1+\cos 2X-2\cos 2Y=2\sin X\sin Y$ है,तो $\frac{a}{b}$ का संभावित मान (मानों) है	$(Q)$ $2$
$(C)$ $\mathbb{R}^2$ में,मान लीजिए $\sqrt{3}\hat{i}+\hat{j}$,$\hat{i}+\sqrt{3}\hat{j}$ और $\beta\hat{i}+(1-\beta)\hat{j}$ क्रमशः मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष $X, Y$ और $Z$ के स्थिति सदिश हैं। यदि $\overline{OX}$ और $\overline{OY}$ के बीच के न्यून कोण के समद्विभाजक से $Z$ की दूरी $\frac{3}{\sqrt{2}}$ है,तो $\|\beta\|$ का संभावित मान (मानों) है	$(R)$ $3$
$(D)$ मान लीजिए कि $F(\alpha)$ उस क्षेत्र का क्षेत्रफल दर्शाता है जो $x=0, x=2, y^2=4x$ और $y=\|\alpha x-1\|+\|\alpha x-2\|+\alpha x$ द्वारा घिरा है,जहाँ $\alpha \in \{0, 1\}$ है। तो जब $\alpha=0$ और $\alpha=1$ है,तब $F(\alpha)+\frac{8}{3}\sqrt{2}$ का मान (मानों) है	$(S)$ $5$
	$(T)$ $6$

$\int \limits_0^{2 \pi} \min \{|x-\pi|, \cos ^{-1}(\cos x)\} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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