int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}} frac{x^2 cos | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2 \cos x}{1+e^x} dx$ ... $(i)$ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi^2}{4}-2$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2 \cos x}{1+e^x} dx$ ... $(i)$ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,અહીં $a+b = 0$ છે.$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(-x)^2 \cos(-x)}{1+e^{-x}} dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2 \cos x}{1+e^{-x}} dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2 \cos x \cdot e^x}{e^x+1} dx$ ... (ii)$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:$2I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2 \cos x (1+e^x)}{1+e^x} dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x dx$$x^2 \cos x$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી,$2I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x dx$ થાય.તેથી $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x dx$.ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:$I = [x^2 \sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2x \sin x dx$$I = (\frac{\pi^2}{4} - 0) - 2 [x(-\cos x) - \int 1(-\cos x) dx]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$$I = \frac{\pi^2}{4} - 2 [-x \cos x + \sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$$I = \frac{\pi^2}{4} - 2 [1 - 0] = \frac{\pi^2}{4} - 2$.

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2 \cos x}{1+e^x} d x$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

Similar Questions

$\int_{-2}^{\pi} \frac{\sin^2 x}{[\frac{x}{\pi}] + \frac{1}{2}} \,dx$ ની કિંમત શોધો. (જ્યાં $[\cdot]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે.)

જો $f(x)$ એ $x$ નું અયુગ્મ વિધેય હોય,તો $\int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f(\cos x)\,dx} $ ની કિંમત શું થાય?

એવા સતત વિધેયો $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ ની સંખ્યા કેટલી છે કે જેથી તમામ $x \in (0,1]$ માટે $f(x) < x^2$ અને $\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{1}{3}$ થાય?

જો $f(a + b - x) = f(x)$ હોય,તો $\int_a^b x f(x) dx = $

$\int_{0}^{\pi} \frac{x \, dx}{a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x} = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module