int cos (log _e x) dx का मान किसके बराबर है? | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \cos (\log _e x) dx$. $\log _e x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है। अतः,$I = \int e^t \cos t dt$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{x}{2}[\sin (\log x)+\cos (\log x)]+C$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int \cos (\log _e x) dx$. $\log _e x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है। अतः,$I = \int e^t \cos t dt$. खंडशः समाकलन (Integration by parts) के सूत्र $\int e^t f(t) dt = e^t f(t) - \int e^t f'(t) dt$ का उपयोग करने पर: $I = e^t \cos t - \int e^t (-\sin t) dt = e^t \cos t + \int e^t \sin t dt$. पुनः $\int e^t \sin t dt$ के लिए खंडशः समाकलन करने पर: $I = e^t \cos t + [e^t \sin t - \int e^t \cos t dt]$. $I = e^t \cos t + e^t \sin t - I$. $2I = e^t (\cos t + \sin t)$. $I = \frac{e^t}{2} (\cos t + \sin t) + C$. $e^t = x$ और $t = \log _e x$ रखने पर: $I = \frac{x}{2} [\cos (\log _e x) + \sin (\log _e x)] + C$.

$\int \cos (\log _e x) dx$ का मान किसके बराबर है? (जहाँ $C$ समाकलन का एक स्थिरांक है।)

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