int_0^{frac{pi}{2}}|sin x-cos x| d x का मान क | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}}|\sin x-\cos x| d x$.फलन $|\sin x - \cos x|$ अंतराल $[0, \frac{\pi}{2}]$ में $x = \frac{\pi}{4}$ पर अपना चिह्न बदल

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$2(\sqrt{2}-1)$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}}|\sin x-\cos x| d x$.फलन $|\sin x - \cos x|$ अंतराल $[0, \frac{\pi}{2}]$ में $x = \frac{\pi}{4}$ पर अपना चिह्न बदलता है।$0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ के लिए,$\cos x \geq \sin x$,इसलिए $|\sin x - \cos x| = \cos x - \sin x$.$\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ के लिए,$\sin x \geq \cos x$,इसलिए $|\sin x - \cos x| = \sin x - \cos x$.अतः,$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}}(\cos x - \sin x) d x + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x - \cos x) d x$.समाकलन का मान ज्ञात करने पर:$I = [\sin x + \cos x]_0^{\frac{\pi}{4}} + [-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}$.$I = [(\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin 0 + \cos 0)] + [(-\cos \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2}) - (-\cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{4})]$.$I = [(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1)] + [(0 - 1) - (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}})]$.$I = [\frac{2}{\sqrt{2}} - 1] + [-1 + \frac{2}{\sqrt{2}}]$.$I = \sqrt{2} - 1 - 1 + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - 2 = 2(\sqrt{2} - 1)$.

$\int_0^{\frac{\pi}{2}}|\sin x-\cos x| d x$ का मान क्या है?

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