^{4n}C_0 + ^{4n}C_4 + ^{4n}C_8 + ... + ^{4n}C | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $S = ^{4n}C_0 + ^{4n}C_4 + ^{4n}C_8 + ... + ^{4n}C_{4n}$.
$(1+x)^{4n} = \sum_{r=0}^{4n} {^{4n}C_r} x^r$ ના વિસ્તરણને ધ્યાનમાં લો.
$4$ વડ

Vedclass · Accepted Answer

$2^{4n - 2} + (-1)^n 2^{2n - 1}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $S = ^{4n}C_0 + ^{4n}C_4 + ^{4n}C_8 + ... + ^{4n}C_{4n}$.
$(1+x)^{4n} = \sum_{r=0}^{4n} {^{4n}C_r} x^r$ ના વિસ્તરણને ધ્યાનમાં લો.
$4$ વડે વિભાજ્ય સૂચકાંકો ધરાવતા પદોનો સરવાળો નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$S = \frac{1}{4} \left[ (1+1)^{4n} + (1-1)^{4n} + (1+i)^{4n} + (1-i)^{4n} \right]$.
$S = \frac{1}{4} \left[ 2^{4n} + 0 + (1+i)^{4n} + (1-i)^{4n} \right]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1+i = \sqrt{2} e^{i\pi/4}$ અને $1-i = \sqrt{2} e^{-i\pi/4}$.
તેથી,$(1+i)^{4n} = (\sqrt{2})^{4n} e^{in\pi} = 2^{2n} (\cos(n\pi) + i\sin(n\pi)) = 2^{2n} (-1)^n$.
તે જ રીતે,$(1-i)^{4n} = 2^{2n} (-1)^n$.
આમ,$(1+i)^{4n} + (1-i)^{4n} = 2 \cdot 2^{2n} (-1)^n = 2^{2n+1} (-1)^n$.
આ કિંમતને $S$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$S = \frac{1}{4} \left[ 2^{4n} + 2^{2n+1} (-1)^n \right] = 2^{4n-2} + 2^{2n-1} (-1)^n$.

$^{4n}C_0 + ^{4n}C_4 + ^{4n}C_8 + ... + ^{4n}C_{4n}$ નું મૂલ્ય શું છે?

Similar Questions

જો $26 \left( \frac{2}{3} \binom{12}{2} + \frac{2}{5} \binom{12}{4} + \frac{2}{7} \binom{12}{6} + \dots + \frac{2}{13} \binom{12}{12} \right) = 3^{13} - \alpha$ હોય, તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો:

જો $^{2017}C_0 + ^{2017}C_1 + ^{2017}C_2 + ...... + ^{2017}C_{1008} = \lambda^2$ જ્યાં $\lambda > 0$ હોય,તો $\lambda$ ને $33$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધો:

$(x+a)^n$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં $x^{n-r}a^r$ અને $x^ra^{n-r}$ પદોના સહગુણકોનો ગુણોત્તર શું થશે?

$C_0 C_r + C_1 C_{r+1} + C_2 C_{r+2} + \dots + C_{n-r} C_n =$

જો ${S_n} = \sum\limits_{r = 0}^n {\frac{1}{{^n{C_r}}}} $ અને ${t_n} = \sum\limits_{r = 0}^n {\frac{r}{{^n{C_r}}}} $ હોય,તો $\frac{{{t_n}}}{{{S_n}}}$ ની કિંમત શું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module