$\lim _{n \rightarrow \infty} n \sin \frac{2 \pi}{3 n} \cos \frac{2 \pi}{3 n}$ का मान है

मान लीजिए $[t]$,$t$ से छोटा या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक है। तो $p \in N$ का न्यूनतम मान जिसके लिए $\lim _{x}$ ${\rightarrow 0^{+}}\left(x\left(\left[\frac{1}{x}\right]+\left[\frac{2}{x}\right]+\ldots+\left[\frac{p}{x}\right]\right)-x^2\left(\left[\frac{1}{x^2}\right]+\left[\frac{2^2}{x^2}\right]+\ldots+\left[\frac{9^2}{x^2}\right]\right)\right) \geq 1$ है,वह . . . . . . के बराबर है।

यदि $[x]$ महत्तम पूर्णांक $\leq x$ को दर्शाता है,तो $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3} \{[1^2 x] + [2^2 x] + [3^2 x] + \ldots + [n^2 x] \} = $

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {\frac{1}{2}(1 - \cos 2x)} }}{x} = $

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left\{n-\sqrt{n^2-4 n}\right\}=$

अभिकथन $(A)$: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} = \infty$
तर्क $(R)$: जैसे-जैसे $x$ का मान घटता है,$\frac{1}{x}$ का मान बढ़ता है।