cot ^{-1}left[frac{sqrt{1-sin x}+sqrt{1+sin x | vedclass

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Question

(C) माना $y = \cot ^{-1}\left[\frac{\sqrt{1-\sin x}+\sqrt{1+\sin x}}{\sqrt{1-\sin x}-\sqrt{1+\sin x}}\right]$.कोष्ठक के अंदर के व्यंजक का परिमेयकरण कर

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$\pi-\frac{x}{2}$

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(C) माना $y = \cot ^{-1}\left[\frac{\sqrt{1-\sin x}+\sqrt{1+\sin x}}{\sqrt{1-\sin x}-\sqrt{1+\sin x}}\right]$.कोष्ठक के अंदर के व्यंजक का परिमेयकरण करने पर:$\frac{(\sqrt{1-\sin x}+\sqrt{1+\sin x})^2}{(1-\sin x)-(1+\sin x)} = \frac{1-\sin x + 1+\sin x + 2\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}}{-2\sin x} = \frac{2 + 2\sqrt{1-\sin^2 x}}{-2\sin x} = \frac{2 + 2\cos x}{-2\sin x} = -\frac{1+\cos x}{\sin x}$.अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं $1+\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}$ और $\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:$-\frac{2\cos^2\frac{x}{2}}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}} = -\cot\frac{x}{2}$.अतः,$y = \cot^{-1}(-\cot\frac{x}{2})$.हम जानते हैं कि $\cot^{-1}(-z) = \pi - \cot^{-1}(z)$,इसलिए $y = \pi - \cot^{-1}(\cot\frac{x}{2})$.दिया गया है कि $x \in (0, \frac{\pi}{4})$,इसलिए $\frac{x}{2} \in (0, \frac{\pi}{8})$,अतः $y = \pi - \frac{x}{2}$.

$\cot ^{-1}\left[\frac{\sqrt{1-\sin x}+\sqrt{1+\sin x}}{\sqrt{1-\sin x}-\sqrt{1+\sin x}}\right]$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $x \in\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ है।

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यदि $y = \tan^{-1}\left(\frac{1}{x^2 + x + 1}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{x^2 + 3x + 3}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{x^2 + 5x + 7}\right) + \dots$ $n$ पदों तक है,तो $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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