$\int_{-1}^{3} \left( \tan^{-1} \left( \frac{x}{x^2+1} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{x^2+1}{x} \right) \right) dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે,$[x]$ એ $x$ થી નાની અથવા તેના જેટલી મહત્તમ પૂર્ણાંક સંખ્યા દર્શાવે છે. ધારો કે $f$ એ $[-10, 10]$ અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું વિધેય છે,જ્યાં $f(x) = \begin{cases} x - [x], & \text{જો } [x] \text{ એકી હોય} \\ 1 + [x] - x, & \text{જો } [x] \text{ બેકી હોય} \end{cases}$. તો $\frac{\pi^2}{10} \int_{-10}^{10} f(x) \cos(\pi x) dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $f$ એ $[0,1]$ પર વ્યાખ્યાયિત એક સતત વિધેય છે જેથી $\int_0^1 f^2(x) dx = (\int_0^1 f(x) dx)^2$ થાય. તો,$f$ નો વિસ્તાર

$n \in N$ માટે,જો $I_n = \int \frac{\sin nx}{\sin x} dx = \frac{2}{n-1} \sin(n-1)x + I_{n-2}$ અને $\int_0^\pi \frac{\sin nx}{\sin x} dx = \frac{k\pi}{2}$ હોય,તો $k =$

$\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(x^5-x^3 \cos x+\sin^3 x-3) \, dx = $ . . . . . .

$\int_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} \frac{\tan x}{\tan x + \cot x} \, dx =$