int_{pi}^{2pi} [2sin x] , dx का मान,जहाँ [cdo | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_{\pi}^{2\pi} [2\sin x] \, dx$. अंतराल $[\pi, 2\pi]$ में,$\sin x$ का मान $0$ से $-1$ और वापस $0$ तक जाता है। अतः,$2\sin x$ का मान $0

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$-\frac{5\pi}{3}$

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(C) माना $I = \int_{\pi}^{2\pi} [2\sin x] \, dx$. अंतराल $[\pi, 2\pi]$ में,$\sin x$ का मान $0$ से $-1$ और वापस $0$ तक जाता है। अतः,$2\sin x$ का मान $0$ से $-2$ और वापस $0$ तक जाता है।हम $[2\sin x]$ के मानों के आधार पर समाकलन को विभाजित करते हैं:$1$. $x \in [\pi, 7\pi/6]$ के लिए,$2\sin x \in [-1, 0]$,इसलिए $[2\sin x] = -1$.$2$. $x \in [7\pi/6, 3\pi/2]$ के लिए,$2\sin x \in [-2, -1]$,इसलिए $[2\sin x] = -2$.$3$. $x \in [3\pi/2, 11\pi/6]$ के लिए,$2\sin x \in [-2, -1]$,इसलिए $[2\sin x] = -2$.$4$. $x \in [11\pi/6, 2\pi]$ के लिए,$2\sin x \in [-1, 0]$,इसलिए $[2\sin x] = -1$.$I = \int_{\pi}^{7\pi/6} (-1) \, dx + \int_{7\pi/6}^{3\pi/2} (-2) \, dx + \int_{3\pi/2}^{11\pi/6} (-2) \, dx + \int_{11\pi/6}^{2\pi} (-1) \, dx$$I = -1(\frac{7\pi}{6} - \pi) - 2(\frac{3\pi}{2} - \frac{7\pi}{6}) - 2(\frac{11\pi}{6} - \frac{3\pi}{2}) - 1(2\pi - \frac{11\pi}{6})$$I = -(\frac{\pi}{6}) - 2(\frac{2\pi}{6}) - 2(\frac{2\pi}{6}) - (\frac{\pi}{6})$$I = -\frac{\pi}{6} - \frac{4\pi}{6} - \frac{4\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = -\frac{10\pi}{6} = -\frac{5\pi}{3}$.

$\int_{\pi}^{2\pi} [2\sin x] \, dx$ का मान,जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है,है

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