$\int_0^{2\pi } {{\cos }^{99}x\,dx} $ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે વિધેય $F$ ને $F(x) = \int_{1}^{x} \frac{e^{t}}{t} dt, x > 0$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તો સંકલન $\int_{1}^{x} \frac{e^{t}}{t+a} dt$ નું મૂલ્ય,જ્યાં $a > 0$,શું થાય?

$\int_0^\pi \sin^2 x \cos^3 x \, dx = $ . . . . . . .

$\int_{-1}^1 \left(\sqrt{1+x+x^2} - \sqrt{1-x+x^2}\right) dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

એક વિધેય $f(x)$ એ કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા $c$ $(c > 1)$ અને $\forall\, x > 0$ માટે $f(x) = f(\frac{c}{x})$ નું પાલન કરે છે. જો $\int_{1}^{\sqrt{c}} \frac{f(x)}{x} dx = 3$ હોય,તો $\int_{1}^{c} \frac{f(x)}{x} dx$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(x)=\int_0^x g(t) \log _e\left(\frac{1-t}{1+t}\right) d t$,જ્યાં $g$ એ એક સતત અયુગ્મ વિધેય છે. જો $\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2}\left(f(x)+\frac{x^2 \cos x}{1+e^x}\right) d x=\left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^2-\alpha$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત ............. છે.