$\theta = 0$ અને $\theta = \pi / 2$ ની વચ્ચે રહેલ $\theta$ ની કિંમત જે સમીકરણ : $\left| \begin{array}{ccc} 1 + \sin^2 \theta & \cos^2 \theta & 4 \sin 4 \theta \\ \sin^2 \theta & 1 + \cos^2 \theta & 4 \sin 4 \theta \\ \sin^2 \theta & \cos^2 \theta & 1 + 4 \sin 4 \theta \end{array} \right| = 0$ નું સમાધાન કરે છે તે છે :

ધારો કે $A$ એક એવો ચોરસ શ્રેણિક છે કે જેથી $AA^T = I$ થાય. તો $\frac{1}{2} A[(A+A^T)^2 + (A-A^T)^2]$ ની કિંમત શોધો.

જો $A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -3 \\ 4 & 3 & 1 \\ -5 & 7 & 2\end{array}\right]$ ને સંમિત શ્રેણિક $P$ અને વિસંમિત શ્રેણિક $Q$ ના સરવાળા તરીકે દર્શાવવામાં આવે,તો $P^{T}-Q^{T}=$

ધારો કે $P=\begin{bmatrix} -30 & 20 & 56 \\ 90 & 140 & 112 \\ 120 & 60 & 14 \end{bmatrix}$ અને $A=\begin{bmatrix} 2 & 7 & \omega^{2} \\ -1 & -\omega & 1 \\ 0 & -\omega & -\omega+1 \end{bmatrix}$,જ્યાં $\omega=\frac{-1+ i \sqrt{3}}{2}$,અને $I_{3}$ એ $3$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે. જો શ્રેણિક $(P^{-1}AP - I_{3})^{2}$ નો નિશ્ચાયક $\alpha \omega^{2}$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.

જો ${\Delta _1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x & {\sin \theta } & {\cos \theta } \\ {\sin \theta } & { - x} & 1 \\ {\cos \theta } & 1 & x \end{array}} \right|$ અને ${\Delta _2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x & {\sin 2\theta } & {\cos 2\theta } \\ {\sin 2\theta } & { - x} & 1 \\ {\cos 2\theta } & 1 & x \end{array}} \right|$,$x \ne 0$ હોય; તો તમામ $\theta \in \left( {0, \frac{\pi }{2}} \right)$ માટે:

ધારો કે $A$ અને $B$ એ $3 \times 3$ ક્રમના બે વ્યસ્ત શ્રેણિકો છે. જો $\det(ABA^T) = 8$ અને $\det(AB^{-1}) = 8$ હોય,તો $\det(BA^{-1}B^T)$ ની કિંમત શોધો.