sumlimits_{r = 2}^{16} {intlimits_r^{r + 1} { | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I = \sum\limits_{r = 2}^{16} {\int_r^{r + 1} {\frac{{dx}}{{(2r - x)(2r + 2 - x)}}} }$. દરેક સંકલન માટે,$u = x - (2r + 1)$ લો. તેથી $du =

Vedclass · Accepted Answer

$\ln \left( \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \right)$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I = \sum\limits_{r = 2}^{16} {\int_r^{r + 1} {\frac{{dx}}{{(2r - x)(2r + 2 - x)}}} }$. દરેક સંકલન માટે,$u = x - (2r + 1)$ લો. તેથી $du = dx$. જ્યારે $x = r$,ત્યારે $u = -r - 1$. જ્યારે $x = r + 1$,ત્યારે $u = -r$. છેદ $(2r - (u + 2r + 1))(2r + 2 - (u + 2r + 1)) = (-u - 1)(1 - u) = u^2 - 1$ બને છે. આમ,$\int_r^{r+1} \frac{dx}{(2r-x)(2r+2-x)} = \int_{-r-1}^{-r} \frac{du}{u^2 - 1} = \left[ \frac{1}{2} \ln \left| \frac{u-1}{u+1} ight| ight]_{-r-1}^{-r}$. $= \frac{1}{2} \left( \ln \left( \frac{r+1}{r-1} ight) - \ln \left( \frac{r+2}{r} ight) ight)$. $r=2$ થી $16$ સુધી સરવાળો કરતા: $\frac{1}{2} \sum_{r=2}^{16} \left( \ln \frac{r+1}{r-1} - \ln \frac{r+2}{r} ight)$. આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે: $\frac{1}{2} [(\ln \frac{3}{1} - \ln \frac{4}{2}) + (\ln \frac{4}{2} - \ln \frac{5}{3}) + \dots + (\ln \frac{17}{15} - \ln \frac{18}{16})]$. $= \frac{1}{2} (\ln 3 - \ln \frac{18}{16}) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{3 	imes 16}{18} ight) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{8}{3} ight) = \ln \left( \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} ight)$.

$\sum\limits_{r = 2}^{16} {\int\limits_r^{r + 1} {\frac{{dx}}{{\left( {2r - x} \right)\left( {2r + 2 - x} \right)}}} }$ નું મૂલ્ય શોધો.

Similar Questions

$\int_0^{\pi /2} {\frac{{dx}}{{2 + \cos x}}} = $

$\int_{0}^{\pi /2}{\frac{dx}{{{a}^{2}}{{\cos }^{2}}x+{{b}^{2}}{{\sin }^{2}}x}}\,=$

$\left[ \int_{0}^{2} \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x + \dots \infty}}} \, dx \right]$ ની કિંમત શોધો (જ્યાં $[\cdot]$ એ $G.I.F.$ છે)

જો $I=\int_0^{\pi / 2} \frac{d x}{5+3 \sin x}=\lambda \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$, તો $\lambda=$

$\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{5\pi }{6}} {\left( {\frac{1}{2}{{(3\sin \theta )}^2} - \frac{1}{2}{{(1 + \sin \theta )}^2}} \right)\,d\theta } $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module