समाकलन $\int_{-1}^{1} \log_{e}(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}) dx$ का मान किसके बराबर है?

$\int_{0}^{\pi / 2} \log (\operatorname{cosec} x) d x$ का मान है

$\int_0^{\sin^2 x} \sin^{-1} \sqrt{t} \,dt + \int_0^{\cos^2 x} \cos^{-1} \sqrt{t} \,dt$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित गणितीय कथनों को ध्यानपूर्वक पढ़ें:
$I.$ $x = c$ पर उच्चतम मान रखने वाला अवकलनीय फलन $f$ $\implies f''(c) < 0$.
$II.$ एक आवर्ती फलन का प्रति-अवकलज (antiderivative) भी एक आवर्ती फलन होता है।
$III.$ यदि $f$ का आवर्तकाल $T$ है,तो किसी भी $a \in R$ के लिए,$\int\limits_0^T {f(x)\,dx} = \int\limits_0^T {f(x + a)\,dx}$.
$IV.$ यदि $f(x)$ का $x = c$ पर उच्चिष्ठ (maxima) है,तो $h \to 0$ $(h > 0)$ के लिए $f$,$(c - h, c)$ में वर्धमान और $(c, c + h)$ में ह्रासमान है। अब सही विकल्प चुनें।

यदि $\alpha = 1$ और $\beta = 1 + i\sqrt{2}$, जहाँ $i = \sqrt{-1}$ समीकरण $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ के दो मूल हैं, जहाँ $a, b, c \in R$, तो $\int_{-1}^{1} (x^3 + ax^2 + bx + c) dx$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $I(R) = \int_0^R e^{-R \sin x} dx$, जहाँ $R > 0$ है। तो,