निम्नलिखित गणितीय कथनों को ध्यानपूर्वक पढ़ें: | vedclass

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Question

(A) $I.$ फलन $f(x) = -x^4$ पर विचार करें। तब $f'(x) = -4x^3$ और $f''(x) = -12x^2$ होगा।यहाँ $f(x)$ का $x = 0$ पर उच्चिष्ठ है लेकिन $f''(0) = 0$ है। अत

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केवल एक कथन सही है।

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(A) $I.$ फलन $f(x) = -x^4$ पर विचार करें। तब $f'(x) = -4x^3$ और $f''(x) = -12x^2$ होगा।यहाँ $f(x)$ का $x = 0$ पर उच्चिष्ठ है लेकिन $f''(0) = 0$ है। अतः,कथन $I$ गलत है।$II.$ $f(x) = \cos x + 1$ पर विचार करें,जो $2\pi$ आवर्तकाल वाला आवर्ती फलन है। लेकिन $\int (\cos x + 1)\,dx = \sin x + x + C$ एक आवर्ती फलन नहीं है। अतः,कथन $II$ गलत है।$III.$ $\int\limits_0^T {f(x + a)\,dx}$ के लिए,$x + a = y$ लें। तब समाकलन $\int\limits_a^{a + T} {f(y)\,dy}$ हो जाता है।आवर्ती फलनों के गुणधर्म के अनुसार $\int\limits_a^{a+T} f(y) dy = \int\limits_0^T f(y) dy$ होता है,इसलिए यह कथन सही है।$IV.$ यह कथन तभी सत्य है यदि $f$,$x = c$ पर सतत हो। फलन $f(x) = \begin{cases} x & 	ext{यदि } x > 0 \ 1 & 	ext{यदि } x = 0 \ -x & 	ext{यदि } x इस फलन का $x = 0$ पर उच्चिष्ठ है,लेकिन यह समस्या में दी गई शर्तों को पूरा नहीं करता है। अतः,कथन $IV$ गलत है।निष्कर्ष: केवल कथन $III$ सही है। इसलिए,केवल एक कथन सही है।

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सिद्ध कीजिए कि $\int_{0}^{a} f(x) g(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx$,यदि $f(x) = f(a-x)$ और $g(x) + g(a-x) = 4$ है।

$\int_0^{\pi /2} \frac{\cos x}{1 + \cos x + \sin x} \,dx = $

$\int_2^8 \frac{5^{\sqrt{10-x}}}{5^{\sqrt{x}}+5^{\sqrt{10-x}}} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

समाकलन $\int_{-2}^{2} \frac{\sin^2 x}{[\frac{x}{\pi}] + \frac{1}{2}} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $[x]$ $x$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक दर्शाता है)।

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