समाकलन int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}} left( | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left[x^2 + \log \left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right)\right] \cos x \, dx$ है। हम समाकलन को $I = I_1 +

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$\frac{\pi^2}{2} - 4$

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(B) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left[x^2 + \log \left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right)\right] \cos x \, dx$ है। हम समाकलन को $I = I_1 + I_2$ के रूप में विभाजित कर सकते हैं,जहाँ $I_1 = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x \, dx$ और $I_2 = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cos x \, dx$ है। चूँकि $f(x) = \log \left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cos x$ एक विषम फलन है क्योंकि $f(-x) = \log \left(\frac{\pi+x}{\pi-x}\right) \cos(-x) = -\log \left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cos x = -f(x)$,इसलिए $I_2 = 0$ होगा। अब,$I_1 = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x \, dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x \, dx$ (चूँकि $x^2 \cos x$ एक सम फलन है)। खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए: $\int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x - \int 2x \sin x \, dx = x^2 \sin x - 2 \left[x(-\cos x) - \int 1(-\cos x) \, dx\right] = x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x$। $0$ से $\frac{\pi}{2}$ तक सीमाएँ रखने पर: $2 \left[x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2 \left[\left(\frac{\pi^2}{4} \cdot 1 + 2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 0 - 2 \cdot 1\right) - (0 + 0 - 0)\right] = 2 \left(\frac{\pi^2}{4} - 2\right) = \frac{\pi^2}{2} - 4$। अतः,$I = \frac{\pi^2}{2} - 4$।

समाकलन $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(x^2 + \log \frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cos x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\int_{0}^{\pi/2} \sin^{4}(x) \cdot \cos^{2}(x) dx = \frac{\pi}{32}$ है,तो $\int_{0}^{\pi/2} \cos^{4}(x) \cdot \sin^{2}(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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