समाकलन int_{1}^{2} e^{x}left(log _{e} x+frac{ | vedclass

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Question

(C) हम जानते हैं कि $\int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + C$.माना $f(x) = \log_{e} x$. तब $f'(x) = \frac{1}{x}$.समाकलन को इस प्रकार लिखा जा सकत

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$e^{2}\left(1+\log _{e} 2\right)-e$

Vedclass · Answer

(C) हम जानते हैं कि $\int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + C$.माना $f(x) = \log_{e} x$. तब $f'(x) = \frac{1}{x}$.समाकलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है:$I = \int_{1}^{2} e^{x} \left( \log_{e} x + \frac{1}{x} + 1 \right) dx$$I = \int_{1}^{2} e^{x} \log_{e} x dx + \int_{1}^{2} e^{x} dx + \int_{1}^{2} \frac{e^{x}}{x} dx$$\int e^{x} \log_{e} x dx$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर:$u = \log_{e} x$, $dv = e^{x} dx$ लेने पर, $du = \frac{1}{x} dx$, $v = e^{x}$ प्राप्त होता है।$\int e^{x} \log_{e} x dx = e^{x} \log_{e} x - \int \frac{e^{x}}{x} dx$.इस मान को $I$ में प्रतिस्थापित करने पर:$I = [e^{x} \log_{e} x - \int \frac{e^{x}}{x} dx] + [e^{x}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{e^{x}}{x} dx$$I = [e^{x} \log_{e} x]_{1}^{2} + [e^{x}]_{1}^{2}$$I = (e^{2} \log_{e} 2 - e^{1} \log_{e} 1) + (e^{2} - e^{1})$चूंकि $\log_{e} 1 = 0$:$I = e^{2} \log_{e} 2 + e^{2} - e$$I = e^{2}(1 + \log_{e} 2) - e$.

समाकलन $\int_{1}^{2} e^{x}\left(\log _{e} x+\frac{x+1}{x}\right) d x$ का मान है

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$\int {{{\left( {\frac{{x + 2}}{{x + 4}}} \right)}^2}{e^x}\,dx} $ किसके बराबर है?

$\int \left( \frac{1-\log x}{1+(\log x)^2} \right)^2 dx = $

$\int \frac{(x-1) e^x}{(x+1)^3} \,d x$ का मान किसके बराबर है?

$\int {\left( {\frac{{2 + \sin 2x}}{{1 + \cos 2x}}} \right){e^x}dx} = $

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