x के वे मान जिनके लिए frac{x}{(x-1)^2(x-2)} क | vedclass

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Question

(B) दिया गया व्यंजक: $f(x) = \frac{x}{(x-1)^2(x-2)}$.आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{x}{(x-1)^2(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac

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$|x| < 1, 1 - n - \frac{1}{2^n}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया व्यंजक: $f(x) = \frac{x}{(x-1)^2(x-2)}$.आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{x}{(x-1)^2(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x-2}$.स्थिरांकों के लिए हल करने पर: $x = A(x-1)(x-2) + B(x-2) + C(x-1)^2$.$x=1$ के लिए: $1 = B(1-2) \implies B = -1$.$x=2$ के लिए: $2 = C(2-1)^2 \implies C = 2$.$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $0 = A + C \implies A = -2$.अतः,$f(x) = \frac{-2}{x-1} - \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{2}{x-2} = \frac{2}{1-x} - \frac{1}{(1-x)^2} - \frac{1}{1-x/2}$.विस्तार: $2(1+x+x^2+\dots+x^n+\dots) - (1+2x+3x^2+\dots+(n+1)x^n+\dots) - (1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4}+\dots+\frac{x^n}{2^n}+\dots)$.$x^n$ का गुणांक: $2 - (n+1) - \frac{1}{2^n} = 1 - n - \frac{1}{2^n}$.यह विस्तार $|x| < 1$ के लिए मान्य है।

$x$ के वे मान जिनके लिए $\frac{x}{(x-1)^2(x-2)}$ का विस्तार संभव है और उस विस्तार में $x^n$ का गुणांक क्रमशः क्या हैं?

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