$'SAHARANPUR'$ શબ્દના અક્ષરોમાંથી બની શકતા $3$ અક્ષરના કુલ શબ્દોની સંખ્યા કેટલી છે?

એક પ્રશ્નપત્રમાં દસ પ્રશ્નો હતા. દરેક પ્રશ્નનો જવાબ માત્ર સાચું $(T)$ અથવા ખોટું $(F)$ તરીકે આપી શકાય છે. દરેક ઉમેદવારે તમામ પ્રશ્નોના જવાબ આપ્યા છે. તેમ છતાં,કોઈ પણ બે ઉમેદવારોએ સમાન ક્રમમાં જવાબ લખ્યા નથી. જવાબોના કેટલા વિવિધ ક્રમ શક્ય છે?

સરવાળો $\sum_{r=1}^{10} (r^2 + 1) \times (r!)$ કોના બરાબર છે?

એક વિદ્યાર્થીને $(2n + 1)$ પુસ્તકોના સંગ્રહમાંથી વધુમાં વધુ $n$ પુસ્તકો પસંદ કરવાની છૂટ છે. જો તે ઓછામાં ઓછું એક પુસ્તક પસંદ કરી શકે તેવા કુલ પ્રકારોની સંખ્યા $63$ હોય,તો $n$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $n$ વસ્તુઓને એક હરોળમાં ગોઠવવામાં આવે,તો તેમાંથી ત્રણ વસ્તુઓને એવી રીતે પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે કે જેથી કોઈ પણ બે વસ્તુઓ એકબીજાની બાજુમાં ન હોય?

$0, 1, 2, 3, 4, 5$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને $3000$ થી મોટી કેટલી સંખ્યાઓ બનાવી શકાય? (અંકોનું પુનરાવર્તન માન્ય નથી)