समीकरण $xyz = 24$ के कुल पूर्णांक हलों की संख्या है

यदि $_n{P_4} = 24 \times \binom{n}{5}$ है,तो $n = \dots$

$3$ बच्चे $15$ क्रमिक रूप से क्रमांकित टिकटों में से $10$ टिकटों को आपस में इस प्रकार वितरित करते हैं कि उन्हें $5, 3$ और $2$ टिकटों के क्रमिक ब्लॉक मिलते हैं,तो ऐसा करने के तरीकों की संख्या है

एक प्रश्न पत्र में $3$ भाग $A, B, C$ हैं। भाग $A$ में $7$ प्रश्न,भाग $B$ में $5$ प्रश्न और भाग $C$ में $3$ प्रश्न हैं। यदि एक उम्मीदवार को भाग $A$ से $4$ से अधिक नहीं,भाग $B$ से $3$ से अधिक नहीं और भाग $C$ से $2$ से अधिक नहीं प्रश्नों के उत्तर देने की अनुमति है,तो वह उम्मीदवार ठीक $7$ प्रश्नों के उत्तर कितने तरीकों से दे सकता है?

$6$ अलग-अलग उपन्यासों और $3$ अलग-अलग शब्दकोशों में से,$4$ उपन्यासों और $1$ शब्दकोश का चयन करके एक शेल्फ पर एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित किया जाना है कि शब्दकोश हमेशा बीच में रहे। ऐसी व्यवस्थाओं की संख्या है:

यदि शब्द $ACADEMICIAN$ के सभी अक्षरों को सभी संभावित तरीकों से क्रमबद्ध किया जाए,तो ऐसे कितने क्रमचय होंगे जिनमें कोई भी दो $A$ साथ न हों और सभी व्यंजन साथ हों?