સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની બે પાસપાસેની બાજુઓ $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} - 7\hat{j} + \hat{k}$ છે. તો,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ . . . . . . ચોરસ એકમ થાય.

ધારો કે $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ ત્રણ સદિશો છે જેથી $|\overline{a}|=\sqrt{3}$,$|\overline{b}|=5$,$\overline{b} \cdot \overline{c}=10$ અને $\overline{b}$ તથા $\overline{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ છે. જો $\overline{a}$ એ સદિશ $\overline{b} \times \overline{c}$ ને લંબ હોય,તો $|\overline{a} \times(\overline{b} \times \overline{c})|$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\vec{a}, \vec{b},$ અને $\vec{c}$ ત્રણ એકમ સદિશો છે,જેમાંથી સદિશો $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ સમાંતર નથી. જો $\alpha$ અને $\beta$ એ ખૂણાઓ છે જે સદિશ $\vec{a}$ અનુક્રમે સદિશો $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ સાથે બનાવે છે અને $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \frac{1}{2} \vec{b}$ હોય,તો $|\alpha - \beta|$ ની કિંમત .............. $^o$ થાય.

સદિશ $3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}$ ને લંબ અને સદિશો $2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ અને $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ સાથે સમતલીય હોય તેવો એકમ સદિશ કયો છે?

ધારો કે $\overrightarrow{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}$.
વિધાન $(A)$ : નિત્યસમ $|\overrightarrow{a} \times \hat{i}|^2+|\overrightarrow{a} \times \hat{j}|^2+|\overrightarrow{a} \times \hat{k}|^2=2|\overrightarrow{a}|^2$ એ $\overrightarrow{a}$ માટે સાચું છે.
કારણ $(R)$ : $\overrightarrow{a} \times \hat{i}=a_3 \hat{j}-a_2 \hat{k}$,$\overrightarrow{a} \times \hat{j}=a_1 \hat{k}-a_3 \hat{i}$,અને $\overrightarrow{a} \times \hat{k}=a_2 \hat{i}-a_1 \hat{j}$.
નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

ધારો કે $L_1: \frac{x+2}{5}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-6}{1}$ અને $L_2: \frac{x-3}{4}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-3}{5}$ એ આપેલી રેખાઓ છે. તો $L_1$ અને $L_2$ બંનેને લંબ એકમ સદિશ કયો છે?