બે સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે. ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પ્રથમ સિક્કા પર છાપ મળે છે અને $B$ એ ઘટના છે કે બીજા સિક્કા પર કાંટો મળે છે. આ બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ કેવી છે?

એક ટુર્નામેન્ટમાં $12$ ખેલાડીઓ $P_1, P_2, P_3, \dots, P_{12}$ છે,જેમને યાદચ્છિક રીતે $6$ જોડીમાં વહેંચવામાં આવે છે. દરેક રમતમાં જોડીના બે ખેલાડીઓ વચ્ચે રમાતી રમતને આધારે વિજેતા નક્કી કરવામાં આવે છે. દરેક ખેલાડી સમાન ક્ષમતા ધરાવે છે તેમ માનીએ,તો $P_1$ અને $P_2$ માંથી બરાબર એક ખેલાડી હારનાર હોય તેની સંભાવના કેટલી?

ત્રણ વ્યક્તિઓ $P, Q$ અને $R$ સ્વતંત્ર રીતે લક્ષ્યને વીંધવાનો પ્રયાસ કરે છે. જો તેમના લક્ષ્યને વીંધવાની સંભાવનાઓ અનુક્રમે $\frac{3}{4}, \frac{1}{2}$ અને $\frac{5}{8}$ હોય,તો લક્ષ્ય $P$ અથવા $Q$ દ્વારા વીંધાય પણ $R$ દ્વારા નહીં,તેની સંભાવના શોધો.

થેલી $A$ માં $3$ સફેદ અને $4$ લાલ દડા છે,થેલી $B$ માં $4$ સફેદ અને $5$ લાલ દડા છે,અને થેલી $C$ માં $5$ સફેદ અને $6$ લાલ દડા છે. જો આ ત્રણેય થેલીઓમાંથી દરેકમાંથી એક દડો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે,તો એક સફેદ અને બે લાલ દડા મેળવવાની સંભાવના કેટલી છે?

ધારો કે $X$ અને $Y$ બે ઘટનાઓ એવી છે કે $P(X \cup Y) = P(X \cap Y)$.
વિધાન $1$: $P(X \cap Y') = P(X' \cap Y) = 0$.
વિધાન $2$: $P(X) + P(Y) = 2P(X \cap Y)$.

નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
વિધાન $(A)$: જો $P_1, P_2, P_3$ એ ત્રણ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ બનવાની સંભાવનાઓ હોય, તો તેમાંથી ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બનવાની સંભાવના $1 - [(1 - P_1)(1 - P_2)(1 - P_3)]$ છે.
કારણ $(R)$: કોઈપણ ત્રણ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ $A, B$ અને $C$ માટે, $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A)P(B) - P(A)P(C) - P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C)$.
નીચેનામાંથી સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો: