a y^4+b x y^3+c x^2 y^2+d x^3 y+e x^4=0 समीकर | vedclass

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Question

(A) माना समीकरण $a y^4+b x y^3+c x^2 y^2+d x^3 y+e x^4 = 0$ है। मान लीजिए कि समीकरण को $(a x^2+p x y-a y^2)(x^2+q x y+y^2) = 0$ के रूप में गुणनखंडित क

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$(b+d)(a d+b e)+(e-a)^2(a+c+e)=0$

Vedclass · Answer

(A) माना समीकरण $a y^4+b x y^3+c x^2 y^2+d x^3 y+e x^4 = 0$ है। मान लीजिए कि समीकरण को $(a x^2+p x y-a y^2)(x^2+q x y+y^2) = 0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। समान पदों के गुणांकों की तुलना करने पर: $b = aq - p$,$c = -pq$,$d = aq + p$,और $e = -a$। तब,$b + d = 2aq$ और $e - a = -2a$। साथ ही,$ad + be = 2ap$ और $a + c + e = -pq$। अब,व्यंजक $(b+d)(ad+be) = (2aq)(2ap) = 4a^2pq$ पर विचार करें। साथ ही,$-(e-a)^2(a+c+e) = -(-2a)^2(-pq) = 4a^2pq$। अतः,$(b+d)(ad+be) = -(e-a)^2(a+c+e)$। यह $(b+d)(ad+be) + (e-a)^2(a+c+e) = 0$ में सरल हो जाता है।

$a y^4+b x y^3+c x^2 y^2+d x^3 y+e x^4=0$ समीकरण द्वारा निरूपित दो रेखाएँ लंबवत होंगी,तो

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यदि $m_1$ और $m_2$ $(m_1 > m_2)$ रेखाओं $5x^2 - 8xy + 3y^2 = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं की ढाल (slopes) हैं,तो $m_1 : m_2$ का मान ज्ञात कीजिए।

$(1, 1)$ से गुजरने वाली और रेखा $x+y-1=0$ के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाने वाली सरल रेखाओं का संयुक्त समीकरण है

मूल बिंदु से गुजरने वाली और $3$ तथा $-\frac{1}{3}$ ढाल वाली रेखाओं का समीकरण है

यदि समीकरण $hxy + gx + fy + c = 0$ सरल रेखाओं के एक युग्म को निरूपित करता है,तो

$p$ का वह मान जिसके लिए समीकरण $x^2+pxy+y^2-5x-7y+6=0$ रेखाओं के एक युग्म को दर्शाता है,है:

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