समान द्रव्यमान वाले दो उपग्रह $s_1$ और $s_2$ एक भारी ग्रह के चारों ओर $R$ और $4R$ त्रिज्या की समतलीय वृत्ताकार कक्षाओं में समान दिशा में घूमते हैं। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?

$(a)$ पृथ्वी को $6400 \, km$ त्रिज्या का एक गोला माना जा सकता है। पृथ्वी के घूर्णन (आवर्तकाल $1 \, \text{दिन}$) के कारण कोई भी वस्तु (या व्यक्ति) पृथ्वी की धुरी के चारों ओर वृत्तीय गति कर रही है। पृथ्वी की सतह पर (भूमध्य रेखा पर) वस्तु का उसके केंद्र की ओर त्वरण क्या है? अक्षांश $\theta$ पर यह कितना है? इन त्वरणों की तुलना $g = 9.8 \, m/s^2$ से कैसे की जा सकती है?
$(b)$ पृथ्वी भी हर साल $1.5 \times 10^{11} \, m$ की कक्षीय त्रिज्या के साथ सूर्य के चारों ओर एक वृत्ताकार कक्षा में घूमती है। सूर्य के केंद्र की ओर पृथ्वी (या पृथ्वी की सतह पर किसी भी वस्तु) का त्वरण क्या है? इस त्वरण की तुलना $g = 9.8 \, m/s^2$ से कैसे की जा सकती है?

पृथ्वी के चारों ओर परिक्रमा कर रहे एक उपग्रह के आवर्तकाल में सापेक्ष अनिश्चितता $10^{-2}$ है। यदि कक्षा की त्रिज्या में सापेक्ष अनिश्चितता नगण्य है,तो पृथ्वी के द्रव्यमान में सापेक्ष अनिश्चितता क्या होगी?

एक उपग्रह पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर वृत्ताकार कक्षा में घूम रहा है। (जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है और $h \ll R$)। पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकलने के लिए उपग्रह की कक्षीय गति में आवश्यक न्यूनतम वृद्धि क्या है? (वायुमंडल के प्रभाव को अनदेखा करें।)

माध्य सौर दिवस दो क्रमिक दोपहरों के बीच का समय अंतराल है जब सूर्य ज़ेनिथ बिंदु (मेरिडियन) से होकर गुजरता है। नक्षत्र दिवस (Sidereal day) एक दूरस्थ तारे के ज़ेनिथ बिंदु (मेरिडियन) से दो क्रमिक पारगमन के बीच का समय अंतराल है। पृथ्वी के चक्रण और कक्षीय गति को दर्शाने वाला एक उपयुक्त आरेख बनाकर,यह दिखाएं कि माध्य सौर दिवस नक्षत्र दिवस से $4\,\text{min}$ लंबा होता है। दूसरे शब्दों में,दूरस्थ तारे हर क्रमिक दिन $4\,\text{min}$ जल्दी उदय होंगे।

सूची-$I$ का सूची-$II$ के साथ मिलान करें:

$(a)$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक $(G)$	$(i)$ $[L^{2}T^{-2}]$
$(b)$ गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा	$(ii)$ $[M^{-1}L^{3}T^{-2}]$
$(c)$ गुरुत्वीय विभव	$(iii)$ $[LT^{-2}]$
$(d)$ गुरुत्वीय तीव्रता	$(iv)$ $[ML^{2}T^{-2}]$

नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें: