નિશ્ચાયકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે:
$\left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & 1+p x^{3} \\ y & y^{2} & 1+p y^{3} \\ z & z^{2} & 1+p z^{3}\end{array}\right|=(1+p x y z)(x-y)(y-z)(z-x),$ જ્યાં $p$ એ કોઈ અદિશ છે.

(A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & 1+p x^{3} \\ y & y^{2} & 1+p y^{3} \\ z & z^{2} & 1+p z^{3}\end{array}\right|$.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે ત્રીજા સ્તંભને વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & 1 \\ y & y^{2} & 1 \\ z & z^{2} & 1\end{array}\right| + \left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & p x^{3} \\ y & y^{2} & p y^{3} \\ z & z^{2} & p z^{3}\end{array}\right|$
બીજા નિશ્ચાયકમાં,$C_3$ માંથી $p$ સામાન્ય લો,પછી $R_1, R_2, R_3$ માંથી અનુક્રમે $x, y, z$ સામાન્ય લો:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\right| + pxyz \left|\begin{array}{lll}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\right|$
$\Delta = (1 + pxyz) \left|\begin{array}{lll}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\right|$
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = (1 + pxyz) \left|\begin{array}{lll}1 & x & x^{2} \\ 0 & y-x & y^{2}-x^{2} \\ 0 & z-x & z^{2}-x^{2}\end{array}\right|$
$R_2$ માંથી $(y-x)$ અને $R_3$ માંથી $(z-x)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (1 + pxyz)(y-x)(z-x) \left|\begin{array}{lll}1 & x & x^{2} \\ 0 & 1 & y+x \\ 0 & 1 & z+x\end{array}\right|$
$R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = (1 + pxyz)(y-x)(z-x) \left|\begin{array}{lll}1 & x & x^{2} \\ 0 & 1 & y+x \\ 0 & 0 & z-y\end{array}\right|$
$C_1$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (1 + pxyz)(y-x)(z-x)(z-y)(1) = (1 + pxyz)(x-y)(y-z)(z-x)$.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.