सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & 1+p x^{3} \\ y & y^{2} & 1+p y^{3} \\ z & z^{2} & 1+p z^{3}\end{array}\right|=(1+p x y z)(x-y)(y-z)(z-x),$ जहाँ $p$ कोई अदिश है।

(A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & 1+p x^{3} \\ y & y^{2} & 1+p y^{3} \\ z & z^{2} & 1+p z^{3}\end{array}\right|$.
सारणिकों के गुणधर्म का उपयोग करके,हम तीसरे स्तंभ को विभाजित कर सकते हैं:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & 1 \\ y & y^{2} & 1 \\ z & z^{2} & 1\end{array}\right| + \left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & p x^{3} \\ y & y^{2} & p y^{3} \\ z & z^{2} & p z^{3}\end{array}\right|$
दूसरे सारणिक में,$C_3$ से $p$ उभयनिष्ठ लें,फिर $R_1, R_2, R_3$ से क्रमशः $x, y, z$ उभयनिष्ठ लें:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\right| + pxyz \left|\begin{array}{lll}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\right|$
$\Delta = (1 + pxyz) \left|\begin{array}{lll}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\right|$
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$\Delta = (1 + pxyz) \left|\begin{array}{lll}1 & x & x^{2} \\ 0 & y-x & y^{2}-x^{2} \\ 0 & z-x & z^{2}-x^{2}\end{array}\right|$
$R_2$ से $(y-x)$ और $R_3$ से $(z-x)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (1 + pxyz)(y-x)(z-x) \left|\begin{array}{lll}1 & x & x^{2} \\ 0 & 1 & y+x \\ 0 & 1 & z+x\end{array}\right|$
$R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ लागू करने पर:
$\Delta = (1 + pxyz)(y-x)(z-x) \left|\begin{array}{lll}1 & x & x^{2} \\ 0 & 1 & y+x \\ 0 & 0 & z-y\end{array}\right|$
$C_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (1 + pxyz)(y-x)(z-x)(z-y)(1) = (1 + pxyz)(x-y)(y-z)(z-x)$.
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।