અંતરાલ $[0, 2\pi]$ પર $f(x)=\sin x+\cos x+6$ માટે રોલના પ્રમેય મુજબ $c$ ની કિંમતો શોધો.

આપેલ છે કે $f(x) = 4 - (\frac{1}{2} - x)^{2/3}$,$g(x) = \begin{cases} \frac{\tan([x])}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}$,$h(x) = \{x\}$,અને $k(x) = 5^{\log_2(x + 3)}$. તો,અંતરાલ $[0, 1]$ માં લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ કોના માટે લાગુ પડતું $\text{નથી}$?

ધારો કે $f(x) = |1 - x|$ જ્યાં $1 \le x \le 2$ અને $g(x) = f(x) + b \sin(\frac{\pi}{2}x)$ જ્યાં $1 \le x \le 2$ છે,તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

ધારો કે $f, g:[-1,2] \rightarrow R$ એ સતત વિધેયો છે જે અંતરાલ $(-1,2)$ પર બે વાર વિકલનીય છે. $f$ અને $g$ ના બિંદુઓ $-1, 0$ અને $2$ પરના મૂલ્યો નીચેના કોષ્ટકમાં આપ્યા મુજબ છે:

$x$	$x=-1, 0, 2$
$f(x)$	$3, 6, 0$
$g(x)$	$0, 1, -1$

દરેક અંતરાલ $(-1,0)$ અને $(0,2)$ માં વિધેય $(f-3g)^{\prime \prime}$ ક્યારેય શૂન્ય થતું નથી. તો સાચું વિધાન(નો) છે:
$(A)$ $f^{\prime}(x)-3g^{\prime}(x)=0$ ને $(-1,0) \cup (0,2)$ માં બરાબર ત્રણ ઉકેલો છે
$(B)$ $f^{\prime}(x)-3g^{\prime}(x)=0$ ને $(-1,0)$ માં બરાબર એક ઉકેલ છે
$(C)$ $f^{\prime}(x)-3g^{\prime}(x)=0$ ને $(0,2)$ માં બરાબર એક ઉકેલ છે
$(D)$ $f^{\prime}(x)-3g^{\prime}(x)=0$ ને $(-1,0)$ માં બરાબર બે ઉકેલો અને $(0,2)$ માં બરાબર બે ઉકેલો છે

વિધેય $y=x^{2}+2$ માટે અંતરાલ $[-2, 2]$ પર રોલના પ્રમેયની ચકાસણી કરો.

સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેય (Mean Value Theorem) મુજબ,અંતરાલ $[0, 1]$ પર નીચેનામાંથી કયું વિધેય શરતોનું પાલન કરતું નથી?