જ્યારે a અસંમેય હોય,ત્યારે સમીકરણ 1+sin^2(ax) | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપણી પાસે સમીકરણ $1+\sin^2(ax)=\cos(x)$ છે.$\sin^2(ax) \geq 0$ હોવાથી,$1+\sin^2(ax) \geq 1$ થાય.વળી,આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(A) આપણી પાસે સમીકરણ $1+\sin^2(ax)=\cos(x)$ છે.$\sin^2(ax) \geq 0$ હોવાથી,$1+\sin^2(ax) \geq 1$ થાય.વળી,આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $\cos(x) \leq 1$ થાય.સમીકરણ $1+\sin^2(ax)=\cos(x)$ સાચું હોવા માટે,બંને બાજુ $1$ હોવી જોઈએ.તેથી,$\cos(x) = 1$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x = 2n\pi$ (જ્યાં $n$ પૂર્ણાંક છે).$x = 2n\pi$ ને સમીકરણમાં મૂકતા,$1+\sin^2(a(2n\pi)) = 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\sin^2(2an\pi) = 0$.આથી $\sin(2an\pi) = 0$,એટલે કે $2an\pi = k\pi$ (જ્યાં $k$ પૂર્ણાંક છે),જેનું સાદું રૂપ $a = \frac{k}{2n}$ થાય.જો $n 
eq 0$ હોય,તો $a$ સંમેય સંખ્યા હોવી જોઈએ.પરંતુ,પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે $a$ અસંમેય છે.તેથી,$n$ માટે માત્ર $0$ શક્ય છે,જે $x = 0$ આપે છે.$x=0$ માટે ચકાસતા: $1+\sin^2(a \cdot 0) = 1+0 = 1$ અને $\cos(0) = 1$.આમ,$x=0$ એ એકમાત્ર ઉકેલ છે.

જ્યારે $a$ અસંમેય હોય,ત્યારે સમીકરણ $1+\sin^2(ax)=\cos(x)$ નું સમાધાન કરતા ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

Similar Questions

સમીકરણ $\sin^{65}x - \cos^{65}x = -1$ માટે $x \in (-\pi, \pi)$ હોય,તો ઉકેલોની સંખ્યા શોધો.

$\cos 2x = -\frac{1}{2}$ ના મુખ્ય ઉકેલો કયા છે?

જો $\sin 3 \theta = \sin \theta$ હોય,તો $-2 \pi < \theta < 2 \pi$ માટે કેટલા ઉકેલો મળે?

સમીકરણ $\tan(\pi \tan x) = \cot(\pi \cot x)$ નો ઉકેલ ગણ શું છે?

જો સમીકરણોની પ્રણાલી $2 \sin^{2} \theta - \cos 2\theta = 0$ અને $2 \cos^{2} \theta + 3 \sin \theta = 0$ ના અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં ઉકેલોનો સરવાળો $k\pi$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module