निम्नलिखित में से कौन सा सत्य नहीं है?

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Question

(C) $f(x) = x - \log(1 + x)$ मानिए। $x > 0$ के लिए,$f'(x) = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x} > 0$ है। अतः,$f(x) > f(0) = 0$,यानी $\log(1 + x) < x$ सत

Vedclass · Accepted Answer

$x > 0$ के लिए $e^{-x} < 1 - x$

Vedclass · Answer

(C) $f(x) = x - \log(1 + x)$ मानिए। $x > 0$ के लिए,$f'(x) = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x} > 0$ है। अतः,$f(x) > f(0) = 0$,यानी $\log(1 + x) $g(x) = \log(1 + x) - \frac{x}{1+x}$ मानिए। $x > 0$ के लिए,$g'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{1}{(1+x)^2} = \frac{x}{(1+x)^2} > 0$ है। अतः,$g(x) > g(0) = 0$,यानी $\frac{x}{1+x} $h(x) = e^{-x} - (1 - x)$ मानिए। $x > 0$ के लिए,$h'(x) = -e^{-x} + 1 > 0$ है। अतः,$h(x) > h(0) = 0$,जिसका अर्थ है कि $e^{-x} > 1 - x$ है। इसलिए,कथन $e^{-x} < 1 - x$ असत्य है।

कॉलम $I$	कॉलम $II$
$(A)$ $f(x) = x\|x\|$	$(p)$ $(-1, 1)$ में सतत है
$(B)$ $f(x) = \sqrt{\|x\|}$	$(q)$ $(-1, 1)$ में अवकलनीय है
$(C)$ $f(x) = x + [x]$	$(r)$ $(-1, 1)$ में निरंतर वर्धमान है
$(D)$ $f(x) = \|x - 1\| + \|x + 1\|$	$(s)$ $(-1, 1)$ में कम से कम एक बिंदु पर अवकलनीय नहीं है

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