फलन $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x} & x \ge 1 \\ x^3 & 0 \le x < 1 \\ \frac{x^3}{3} - 4x & x < 0 \end{cases}$ के लिए निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
- Aयह $\forall x \in R$ के लिए मोनोटोनिकली वर्धमान फलन है।
- B$f'(x)$,$x$ के $2$ अलग-अलग वास्तविक मानों के लिए अस्तित्व में नहीं है।
- C$f'(x)$ अपना चिह्न दो बार बदलता है जैसे ही $x$,$(-\infty, \infty)$ में बदलता है।
- Dफलन अपने चरम मान $x_1$ और $x_2$ पर प्राप्त करता है,इस प्रकार कि $x_1, x_2 > 0$ हो।
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मान लीजिए $f: R \rightarrow (0, \infty)$ और $g: R \rightarrow R$ दो बार अवकलनीय फलन हैं,इस प्रकार कि $f^{\prime \prime}$ और $g^{\prime \prime}$ $R$ पर सतत फलन हैं। मान लीजिए $f^{\prime}(2) = g(2) = 0$,$f^{\prime \prime}(2) \neq 0$ और $g^{\prime}(2) \neq 0$ है। यदि $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{f(x) g(x)}{f^{\prime}(x) g^{\prime}(x)} = 1$ है,तो:
फलन $f(x)$ और $g(x)$ इस प्रकार हैं कि $f(x) + \int\limits_0^x {g(t)dt = 2\sin x - \frac{\pi}{2}}$ और $f'(x)g(x) = \cos^2 x$ है। तो अंतराल $(0, 3\pi)$ में समीकरण $f(x) + g(x) = 0$ के हलों की संख्या क्या है?
मान लीजिए $f(x)=x^2+a x+b$,जहाँ $a, b \in R$ है। यदि $f(x)=0$ के सभी मूल काल्पनिक हैं,तो $f(x)+f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)=0$ के मूल क्या होंगे?
एक वक्र समीकरणों $x = \sec^2 t$ और $y = \cot t$ द्वारा दर्शाया गया है,जहाँ $t$ एक प्राचल है। यदि वक्र पर बिंदु $P$ पर जहाँ $t = \pi / 4$ है,स्पर्श रेखा वक्र को पुनः बिंदु $Q$ पर मिलती है,तो $|PQ|$ का मान ज्ञात कीजिए।
मान लीजिए $f(x)$ एक द्विघात व्यंजक है जो सभी वास्तविक $x$ के लिए धनात्मक है। यदि $g(x) = f(x) + f'(x) + f''(x)$ है,तो किसी भी वास्तविक $x$ के लिए,कौन सा सही है?
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