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Question

(A) हम एक ऐसा फलन खोजते हैं जिसका अवकलज $\cos 2x$ हो।याद कीजिए कि $\sin 2x$ का अवकलज इस प्रकार है:$\frac{d}{dx} (\sin 2x) = 2 \cos 2x$दोनों पक्षों को

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$\frac{1}{2} \sin 2x$

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(A) हम एक ऐसा फलन खोजते हैं जिसका अवकलज $\cos 2x$ हो।याद कीजिए कि $\sin 2x$ का अवकलज इस प्रकार है:$\frac{d}{dx} (\sin 2x) = 2 \cos 2x$दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$\frac{1}{2} \frac{d}{dx} (\sin 2x) = \cos 2x$अवकलन के रैखिकता गुण का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं:$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} \sin 2x \right) = \cos 2x$अतः,$\cos 2x$ का एक प्रति-अवकलज $\frac{1}{2} \sin 2x$ है।

निरीक्षण विधि का उपयोग करके निम्नलिखित फलन के लिए एक प्रति-अवकलज (anti-derivative) ज्ञात कीजिए:
$\cos 2x$

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यदि $\int {\sqrt {1 + \sin \frac{x}{2}} } dx = A\, \sin\, \left( {\frac{x}{4} - \frac{\pi }{4}} \right) + C$ है,तो $A$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\int {\frac{{{e^{5\log x}} - {e^{4\log x}}}}{{{e^{3\log x}} - {e^{2\log x}}}}\;dx} = $

यदि $\int \frac{(x - 1)^2}{(x^2 + 1)^2} dx = \tan^{-1} (x) + g(x) + k$ है,तो $g(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int {\left( {1 + x + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^3}}}{{3!}} + \dots} \right) dx} = $

निम्नलिखित समाकल ज्ञात कीजिए:
$\int \frac{1-\sin x}{\cos ^{2} x} d x$

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